trigonometr. Fkt. ableiten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Es geht allgemein um die Ableitung von Funktionen wie arcos, arcosh, arcsin und arcsinh.
Im Prinzip,denke ich mir, funktioniert diese Ableitung am besten mit der Regel über Ableitungen der Umkehrfunktionen, die ja aus der definition von arc schon sehr einfach gegeben sind. Leider habe ich dann etwas Probleme auf die (aus der Formelsammung stammenden) richtigen Ergebnisse zu kommen.
Als Beispiel : arccos'
Nach der Regel für Umkehrfkt.habe ich da [mm] \bruch{1}{-sin(arccos (x)} [/mm] heraus.
Nun die Frage: Aus welcher Identität bzw. welcher Definiton von arccos erhalte ich das richtige, gekürzte Ergebnis (habe es grade selber nicht zur Hand, vermute das arcsin oder so rauskommt)?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo, Rastaflip
[mm] $\sin [/mm] x = [mm] \sqrt{1 - \cos ^2 x}$ [/mm] und [mm] $\cos [/mm] ^2 [mm] (\arccos [/mm] x) = [mm] x^2$
[/mm]
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danke erstmal, das sollte diese Ableitung lösen.
jetzt brauche ich nurnoch die anderen Umschreibungen von sinh, cosh etc. mit ihrem Konterpart ausgedrückt, so dass ich sie wie in dem Beispiel gegenseitig "neutralisieren" kann. Wäre schon wenn ich das noch bekäme, ansonsten muss ich wohl mal irgendwo nachschlagen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Loddar |
N'Abend Rastaflip!
Die anderen "Umschreibungen" lauten:
$sinh(x) \ = \ [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2}$
[/mm]
$cosh(x) \ = \ [mm] \bruch{e^x + e^{-x}}{2}$
[/mm]
$tanh(x) \ = \ [mm] \bruch{sinh(x)}{cosh(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$
[/mm]
Die Umkehrfunktion z.B. zum $sinh(x)$ lautet:
[mm] $\left[ sinh(x) \right]^{-1} [/mm] \ = \ arsinh(x) \ = \ [mm] ln\left( x + \wurzel{x^2 + 1}\right)$
[/mm]
Loddar
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hm schonmal wieder hilfreich.
aber irgendwie kürze ich nicht richtig oder mache sonst noch was verkehrt
nehmen wir mal sinh´
1 [mm] \bruch{1}{arcosh(sinh)}
[/mm]
das wäre dann (unterm Bruchstrich)
ln ( [mm] \bruch{e^{x} - e^{-x} }{2} [/mm] + [mm] \wurzel{ \bruch{e^{x} - e^{-x} }{2} + 1})
[/mm]
durch welchen abenteuerlichen Trick komme ich nun auf das richtige Ergebnis? offensichtlich mangelt es mir etwas an den Rechenregeln zu e und ln.Wäre ganz schön wenn ich das ganze auch noch für arcos (x) bekäme
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Weiterer Hinweis:
Aus [mm] $cosh^2(x) [/mm] \ - \ [mm] sinh^2(x) [/mm] \ = \ 1$ folgt ja: $sinh(x) \ = \ [mm] \wurzel{cosh^2(x) - 1}$
[/mm]
Schau' Dir doch auch mal folgende Frage mit Antwort an: ähnliche Funktion.
Kommst Du hiermit weiter?
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Rastaflip |
tja das sagt mir jetzt nur, das ich aus [mm] sinh^{2} [/mm] das Quadrat auf den ganzen X-Term anwenden kann. Weiß aber schon wieder nicht genau wie ich das für meine komplizierte Umformung unter dem Bruchstrich verwenden kann. Denn da habe ich ja ln angewendet auf 2 große Terme
Das Problem ist, ich sitzte nebenbei noch an anderen Aufgaben die ich für morgen undbedingt haben muss (es geht um die endgültige Qualifikation für die Klausur). Dabei geht es um die Monotonie ebenjener trigonometrischer Funktionen.
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