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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar [mm] f_{t}(x)=1+t*sinx ,t\ge0 [/mm] , [mm] x\in[0;2\pi]
[/mm]
a)Welche Scharfunktionen besitzen Nullstellen?
b)Die Tangente von [mm] f_{t} [/mm] bei x=0 und [mm] x=\pi [/mm] schneiden sich.wie muss t gewählt werden,wenn der Schnittwinkel 60° betragen soll? |
Hallo ^^
Ich hab da ein kleines Problem mit dieser Aufgabe,ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Bei der a) ist als Lösung angegeben,dass alle [mm] t\ge1 [/mm] Nullstellen haben,ich versteh nicht so ganz,warum das so ist,dass t=0 keine Nullstellen hat ist mir klar,aber warum können nicht t die Kleiner als Null sind Nullstellen haben,wenn ich die nämlich in meinen Taschenrechner eingebe,krieg ich Werte dafür raus?
Die b) hab ich versucht zu berechnen,jedoch fallen bei mir alle t's weg,deswegen kann ich die Aufgabe nicht so ganz lösen,hier mal meine Rechnung:
x=0 ----> P(0/1)
Tangente im Punkt P:
[mm] f_{t}'(x)=t*cosx
[/mm]
[mm] f_{t}'(0)=1
[/mm]
b=1
t(x)=x+1
[mm] x=\pi [/mm] ---> [mm] Q(\pi/1)
[/mm]
Tangente in Q:
[mm] f_{t}'(\pi [/mm] )=-t
1=-tx+b
b=1+tx
u(x)=-tx+1+tx
u(x)=1
Jetzt Schnittpunkt von beiden:
t(x)=u(x)
x+1=1
x=0
Und jetzt hab ich überhaupt kein t mehr,wie soll ich denn dann sie Aufgabe lösen?
vielen dank
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktionenschar [mm]f_{t}(x)=1+t*sinx ,t\ge0[/mm]
> , [mm]x\in[0;2\pi][/mm]
>
> a)Welche Scharfunktionen besitzen Nullstellen?
>
> b)Die Tangente von [mm]f_{t}[/mm] bei x=0 und [mm]x=\pi[/mm] schneiden
> sich.wie muss t gewählt werden,wenn der Schnittwinkel 60°
> betragen soll?
> Hallo ^^
>
> Ich hab da ein kleines Problem mit dieser Aufgabe,ich hoffe
> ihr könnt mir helfen.
> Bei der a) ist als Lösung angegeben,dass alle [mm]t\ge1[/mm]
> Nullstellen haben,ich versteh nicht so ganz,warum das so
> ist,dass t=0 keine Nullstellen hat ist mir klar,aber warum
> können nicht t die Kleiner als Null sind Nullstellen
> haben,wenn ich die nämlich in meinen Taschenrechner
> eingebe,krieg ich Werte dafür raus?
In der Aufgabenstellung ist klar vorgegeben: t [mm] \ge [/mm] 0.
>
> Die b) hab ich versucht zu berechnen,jedoch fallen bei mir
> alle t's weg,deswegen kann ich die Aufgabe nicht so ganz
> lösen,hier mal meine Rechnung:
>
> x=0 ----> P(0/1)
> Tangente im Punkt P:
>
> [mm]f_{t}'(x)=t*cosx[/mm]
> [mm]f_{t}'(0)=1[/mm]
Hier ist Dein Fehler: [mm] f_{t}'(0)=t [/mm] !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
FRED
> b=1
>
> t(x)=x+1
>
> [mm]x=\pi[/mm] ---> [mm]Q(\pi/1)[/mm]
> Tangente in Q:
> [mm]f_{t}'(\pi[/mm] )=-t
> 1=-tx+b
> b=1+tx
>
> u(x)=-tx+1+tx
> u(x)=1
>
> Jetzt Schnittpunkt von beiden:
>
> t(x)=u(x)
> x+1=1
> x=0
>
> Und jetzt hab ich überhaupt kein t mehr,wie soll ich denn
> dann sie Aufgabe lösen?
>
> vielen dank
> Lg
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:20 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> In der Aufgabenstellung ist klar vorgegeben: t [mm]\ge[/mm] 0.
>
Klar,das war jetzt echt dumm von mir....
> > Die b) hab ich versucht zu berechnen,jedoch fallen bei mir
> > alle t's weg,deswegen kann ich die Aufgabe nicht so ganz
> > lösen,hier mal meine Rechnung:
> >
> > x=0 ----> P(0/1)
> > Tangente im Punkt P:
> >
> > [mm]f_{t}'(x)=t*cosx[/mm]
> > [mm]f_{t}'(0)=1[/mm]
>
>
> Hier ist Dein Fehler: [mm]f_{t}'(0)=t[/mm] !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
>
Stimmt,da hab ich mich wohl verrechnet,ich hab t=1.55 raus,stimmt das so?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da habe ich etwas anderes heraus. Wie hast Du denn gerechnet?
Hast Du auch die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden verwendet?
[mm] $$\tan(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{m_2-m_1}{1+m_1*m_2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Da habe ich etwas anderes heraus. Wie hast Du denn
> gerechnet?
>
> Hast Du auch die Formel für den Schnittwinkel zweier
> Geraden verwendet?
>
> [mm]\tan(\alpha) \ = \ \bruch{m_2-m_1}{1+m_1*m_2}[/mm]
>
Ne,die Formel hab ich nicht benutzt,ich kannte die Formel überhaupt nicht,ich hatte einfach die Steigung von t(x) genommen und mit [mm] m=tan\alpha [/mm] gerechnet,ich habs jetzt aber nochmal mit der Formel versucht:
[mm] tan60=\bruch{-2t}{1+t^{2}}
[/mm]
[mm] 1.7=\bruch{-2t}{1+t^{2}}
[/mm]
[mm] 1.7+1.7t^{2}=-2t
[/mm]
[mm] 1.7t^{2}+2t+1.7=0
[/mm]
[mm] t^{2}+1.1t+1=0
[/mm]
Diese Gleichung muss ich jetzt nur noch mit pq-Formel nach t auflösen oder?
Kann man das eingentlich auch anders machen oder geht das nur über diese Formel?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Do 27.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Zunächst: schreibe lieber [mm] $\tan(60°) [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{3}$ [/mm] .
Und dann geht es wirklich mit der  p/q-Formel weiter. Alternativ kannst Du hier auch quadratische Ergänzung anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Do 27.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Zunächst: schreibe lieber [mm]\tan(60°) \ = \ \wurzel{3}[/mm] .
Ok,aber wie kommt man drauf?
> Und dann geht es wirklich mit der p/q-Formel
> weiter. Alternativ kannst Du hier auch quadratische
> Ergänzung anwenden.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Mandy!
> >
> >
> > Zunächst: schreibe lieber [mm]\tan(60°) \ = \ \wurzel{3}[/mm] .
>
> Ok,aber wie kommt man drauf?
Solche Dinge wie sin(30°), sin(45°), sin(60°), .... (entspr. für cos) sollte man wissen oder zumindest in der Lage sein, in einer Formelsammlung nachzusehen
tan = [mm] \bruch{sin}{cos}
[/mm]
FRED
>
> > Und dann geht es wirklich mit der p/q-Formel
> > weiter. Alternativ kannst Du hier auch quadratische
> > Ergänzung anwenden.
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Do 27.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
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> Zunächst: schreibe lieber [mm]\tan(60°) \ = \ \wurzel{3}[/mm] .
>
>
> Und dann geht es wirklich mit der p/q-Formel
> weiter. Alternativ kannst Du hier auch quadratische
> Ergänzung anwenden.
>
ok,dann muss ich also
[mm] \wurzel{3}*t^{2}+2t+\wurzel{3}=0
[/mm]
[mm] t^{2}+\bruch{2}{\wurzel{3}}t+1=0
[/mm]
Das komische ist jetzt,wenn ich das mit der pq-Formel berechnen will,steht unter der Wurzel etwas negatives,da kann doch was nicht stimmen oder?
lg
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Hallo Mandy in deiner Lösung hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
f(x)=1+t*sin(x)
f'(x)=t*cos(x)
f'(0)=t
[mm] f'(\pi)=-t
[/mm]
bezeichnen wir den Anstieg der Tangente an der Stelle x=0 mit [mm] m_1=t
[/mm]
bezeichnen wir den Anstieg der Tangente an der Stelle [mm] x=\pi [/mm] mit [mm] m_2=-t
[/mm]
jetzt gilt:
[mm] tan(60^{0})=\bruch{m_2-m_1}{1+m_1*m_2}
[/mm]
[mm] \wurzel{3}=\bruch{-t-t}{1+t*(-t)}
[/mm]
[mm] \wurzel{3}=\bruch{-2t}{1-t^{2}} [/mm] du hast [mm] 1+t^{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{3}-\wurzel{3}t^{2}=-2t
[/mm]
[mm] -\wurzel{3}t^{2}+2t+\wurzel{3}=0
[/mm]
[mm] t^{2}-\bruch{2}{\wurzel{3}}t-1=0
[/mm]
[mm] p=-\bruch{2}{\wurzel{3}}
[/mm]
q=-1
jetzt sollte dein Problem gelöst sein,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 27.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy in deiner Lösung hat sich ein Vorzeichenfehler
> eingeschlichen:
>
> f(x)=1+t*sin(x)
>
> f'(x)=t*cos(x)
>
> f'(0)=t
>
> [mm]f'(\pi)=-t[/mm]
>
> bezeichnen wir den Anstieg der Tangente an der Stelle x=0
> mit [mm]m_1=t[/mm]
> bezeichnen wir den Anstieg der Tangente an der Stelle
> [mm]x=\pi[/mm] mit [mm]m_2=-t[/mm]
>
> jetzt gilt:
>
> [mm]tan(60^{0})=\bruch{m_2-m_1}{1+m_1*m_2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3}=\bruch{-t-t}{1+t*(-t)}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3}=\bruch{-2t}{1-t^{2}}[/mm] du hast [mm]1+t^{2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3}-\wurzel{3}t^{2}=-2t[/mm]
>
> [mm]-\wurzel{3}t^{2}+2t+\wurzel{3}=0[/mm]
>
> [mm]t^{2}-\bruch{2}{\wurzel{3}}t-1=0[/mm]
>
> [mm]p=-\bruch{2}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> q=-1
>
Das heißt also, für [mm] t=\wurzel{3} [/mm] beträgt der Winkel 60° oder?
Ich hab mal noch eine Frage,kann man diese Aufgabe auch irgendwie anders lösen,weil ich kannte diese Formel überhaupt nicht und wäre nie auf die Idee gekommen,sie zu benutzen ???
lg
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Hallo Mandy, [mm] t=\wurzel{3} [/mm] stimmt leider nicht
[mm] t_1_2=\bruch{1}{\wurzel{3}}\pm\wurzel{\bruch{1}{3}+1}
[/mm]
[mm] t_1_2=\bruch{1}{\wurzel{3}}\pm\wurzel{\bruch{4}{3}}
[/mm]
[mm] t_1_2=\bruch{1}{\wurzel{3}}\pm\bruch{2}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] t_1=\bruch{3}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] t_2 [/mm] entfällt laut Aufgabenstellung
die verwendete Formel ist eigentlich allgemeiner Standard
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 27.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
ich will zu dieser Schar die Nullstellen von [mm] f_{2} [/mm] berechnen im Intervall [mm] [0;2\pi]
[/mm]
Dazu muss ich ja x=arcsin(-0.5) berechnen,wenn ich das in meinen Taschenrechner eingebe,komme ich auf [mm] -\bruch{1}{6}\pi.Das [/mm] liegt aber nicht in meinem angegebenen Intervall,wie kann ich denn jetzt die nullstellen in meinem Intervall berechnen???
vielen dank
lg
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Hallo Mandy,
-0,5=sin(x)
[mm] -0,5=sin(\bruch{7}{6}\pi) [/mm] oder
[mm] -0,5=sin(210^{0})
[/mm]
und [mm] \bruch{7}{6}\pi [/mm] liegt im Intervall
schaue dir dazu noch einmal die Quadrantenbeziehungen an
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Do 27.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> -0,5=sin(x)
>
> [mm]-0,5=sin(\bruch{7}{6}\pi)[/mm] oder
>
> [mm]-0,5=sin(210^{0})[/mm]
>
> und [mm]\bruch{7}{6}\pi[/mm] liegt im Intervall
>
> schaue dir dazu noch einmal die Quadrantenbeziehungen an
>
ok,vielen dank,aber wie bist du auf diese [mm] \bruch{7}{6}\pi [/mm] gekommen?
Ich meine,wie hast du die berechnet,oder wusstest du das ausm Kopf raus?Und da müsste noch eine Nullstelle in diesem Intervall liegen,wie berechne ich die denn?
lg=)
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Hallo Mandy,
für den 3. Quadranten gilt: [mm] sin(\pi+x)=-sin(x)
[/mm]
für den 4. Quadranten gilt: [mm] sin(2\pi-x)=-sin(x)
[/mm]
somit hast du also die Lösungen:
[mm] \pi+\bruch{1}{6}\pi=\bruch{1}{6}\pi\hat=210^{0}
[/mm]
[mm] 2\pi-\bruch{1}{6}\pi=\bruch{11}{6}\pi\hat=330^{0}
[/mm]
Steffi
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