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Hallo und guten Tag.
Ich bereite mich gerade auf mein erstes Mathe Semester vor und habe mir einige Skripte aus dem Internet geladen und die dazu passenden Aufgabenblätter.
Jetzt bin ich bei einer Aufgabe angelangt, die ich nicht recht nachvollziehen kann, weil ich sie als trivial empfinde und denke, dass man dort nichts mehr weiter zeigen müsste. Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen und mir sagen wie man solche Aufgaben bearbeitet.
Die Aufgabe lautet:
Es seien X,Y,Z Mengen und f:X->Y und g:Y->Z Abbildungen. Zeige:
i. Ist g injektiv, so gilt: f injektiv [mm] \gdw [/mm] g [mm] \circ [/mm] f injektiv.
ii. Ist f surjektiv, so gilt: g surjektiv [mm] \gdw [/mm] g [mm] \circ [/mm] f surjektiv.
Irgendwie verstehe ich die Aufgabe halt nicht, es wäre nett wenn mir jemand weiter helfen könnte. Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
Hmm... wenn man sich das genau überlegt, ist es sicherlich nicht schwierig, nachzuvollziehen, aber worum es hier geht, ist, denke ich, mehr eine Übung, wie man das sauber aufschreibt.
Wir haben hier eine Äquivalenz [mm] (\gdw) [/mm] zu zeigen, diese zeigen wir in 2 Schritten, der "Hinrichtung" [mm] \Rightarrow [/mm] (blödes Wort, ich weiß) und der Rückrichtung, [mm] \Leftarrow.
[/mm]
Ich mach dir das vielleicht mal am 2. Beispiel vor, ich würde dir empfehlen, dann deine Lösung zur 1. Aufgabe genauso zu erarbeiten und evtl. hier zu posten, damit sie jemand Korrektur liest.
Also, fangen wir mal los:
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Seien [mm] $f:X\to Y,g:Y\to [/mm] Z$ surjektive Funktionen.
(zu zeigen: [mm] $g\circ [/mm] f$ ist surjektiv)
Sei [mm] z\in [/mm] Z.
Da $g_$ surjektiv, existiert [mm] $y\in [/mm] Y$ mit $g(y)=z$.
Da wiederum $f_$ surjektiv, existiert aber auch ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit $f(x)=y$, insgesamt existiert also für alle [mm] $z\in [/mm] Z$ ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $(g\circ [/mm] f)(x)=g(f(x))=z$, das heißt also, [mm] $g\circ [/mm] f$ ist surjektiv.
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Sei [mm] $f:X\to [/mm] Y$ surjektiv, [mm] $g\circ f:X\to [/mm] Z$ surjektiv.
(zu zeigen: $g_$ ist surjektiv.)
Sei [mm] $z\in [/mm] Z$.
Da [mm] $g\circ [/mm] f$ surjektiv, existiert [mm] $x\in [/mm] X$ mit $g(f(x))=z$
Definiere [mm] $y:=f(x)\in [/mm] Y$, d.h. es existiert [mm] $y\in [/mm] Y$ mit $g(y)=z$, also $g_$ surjektiv.
q.e.d.
Gruß,
Christian
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Hallo Christian und danke für deine erneut schnelle Antwort, ich konnte deinen Post gut nachvollziehen und denke nun auch, dass die Aufgabenstellung so gedacht war. Hier nun mein Versuch zur ersten Aufgabe:
Es seien f:X->Y und g:Y->Z Abbildungen und X,Y,Z Mengen. G sei injektiv, zu zeigen ist, f injektiv [mm] \gdw [/mm] g [mm] \circ [/mm] f injektiv.
Hinrichtung: Da f injektiv, existiert genau für jeden Wert [mm] y=f(x)\in [/mm] Y ein x [mm] \in [/mm] X.
Da auch g injektiv ist, gibt es widerum auch für jeden Wert [mm] z=g(x)\in [/mm] Z genau ein [mm] y=f(x)\in [/mm] Y
Es gibt also insgesamt für jeden Wert [mm] g(f(x))=z\in [/mm] Z genau einen Wert [mm] x\in [/mm] X, was bedeutet, dass g [mm] \circ [/mm] f injektiv ist.
So das wäre mein Beweisversuch, müsste doch eigentlich stimmen, wenn er stimmt spar ich mir erstmal die Rückrichtung, da es ja wirklich nicht sehr schwer ist.
mfg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 So 14.08.2005 | | Autor: | Christian |
Die richtigen Ansätze sind da schon drin... Du müßtest es nur klarer aufschreiben, weil es teilweise so klingt, als würdest Du voraussetzen, daß f surjektiv ist.
Machen wir mal die "Hinrichtung": sei g injektiv, f injektiv.
Dann ist für [mm] $x,y\in [/mm] X$ mit [mm] $x\not=y$ [/mm] auch [mm] $f(x)\not=f(y)$. [/mm] Da nach Voraussetzung auch g injektiv, folgt insgesamt [mm] $g(f(x)\not=g(f(y))$,
[/mm]
also [mm] $g\circ [/mm] f$ injektiv.
Nun die Rückrichtung:
Seien $g_$ und [mm] $g\circ [/mm] f$ injektiv.
Seien [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 \in \Bild{(g\circ f)}, z_1=z_2, [/mm] dann existieren [mm] x_1, x_2 \in [/mm] X mit [mm] z_1=g(\underbrace{f(x_1}_{=:y_1})=g(\underbrace{f(x_2}_{=:y_2})=z_2
[/mm]
und nach Voraussetzung folgt [mm] y_1=y_2.
[/mm]
Angenommen, [mm] $x_1\not=x_2$.
[/mm]
Dann folgt wegen der Injektivität von [mm] $g\circ [/mm] f$ [mm] $z_1\not=z_2$, [/mm] Widerspruch.
Also muß $f_$ injektiv sein.
Gruß,
Christian
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Ok Danke, ich habe verstanden was du meinst, ich hätte es einfach besser formulieren müssen, was injektiv überhaupt bedeutet. Werde es nächstes mal besser machen.
mfg
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