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| Aufgabe | Im Heuser findet sich folgendes Übungsbeispiel:
Sei [mm] B:=\{(x,y)\in\mathBB{R}^2:x\ge{0},y\ge{0},x+y\le{1}\} [/mm] Für alle [mm] n,m\in\mathbb{N}_0 [/mm] ist
[mm] \integral_{B}^{}{x^n*y^m dxdy}=\bruch{n!m!}{(n+m+2)!} [/mm] |
Folgendes Problem bereitet sich mir hierbei auf. Auf der Seite davor wird folgender Satz bewiesen:
Sei f stetig auf dem Normalbereich B, so haben wir
[mm] \integral_{B}^{}{f(x,y) dxdy}=\integral_{a}^{b}{(\integral_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}{f(x,y) dy}) dx}
[/mm]
Also müsste doch a=0 und [mm] b=\infty, \phi_2(x)=1-x [/mm] und [mm] \phi_1(x)=x-1 [/mm] ??
Wie kann ich jedoch am besten (evt. ohne Induktion) die Stammfunktion von [mm] f(x,y)=x^n*y^m [/mm] bilden?
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Hallo Omikron123,
> Im Heuser findet sich folgendes Übungsbeispiel:
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> Sei [mm]B:=\{(x,y)\in\mathBB{R}^2:x\ge{0},y\ge{0},x+y\le{1}\}[/mm]
Das Integrationsgebiet ist ein gleichschenkliges Dreieck.
> Für alle [mm]n,m\in\mathbb{N}_0[/mm] ist
> [mm]\integral_{B}^{}{x^n*y^m dxdy}=\bruch{n!m!}{(n+m+2)!}[/mm]
>
> Folgendes Problem bereitet sich mir hierbei auf. Auf der
> Seite davor wird folgender Satz bewiesen:
>
> Sei f stetig auf dem Normalbereich B, so haben wir
>
> [mm]\integral_{B}^{}{f(x,y) dxdy}=\integral_{a}^{b}{(\integral_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}{f(x,y) dy}) dx}[/mm]
>
> Also müsste doch a=0 und [mm]b=\infty, \phi_2(x)=1-x[/mm] und
> [mm]\phi_1(x)=x-1[/mm] ??
Das stimmt nicht, s.o.
>
> Wie kann ich jedoch am besten (evt. ohne Induktion) die
> Stammfunktion von [mm]f(x,y)=x^n*y^m[/mm] bilden?
Wenn du nur nach einer Variablen integrierst, gibt es dafür doch eine elementare Integrationsregel.
LG
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Was wären deiner Meinung nach [mm] a,b,phi_1 [/mm] und [mm] phi_2 [/mm] ?
Als Stammfunktion erhalte ich (nach beiden Variabeln integriert)
[mm] \bruch{x^{n+1}y^{m+1}}{(1+m)(1+n)}
[/mm]
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Hallo Omikron123,
> Was wären deiner Meinung nach [mm]a,b,phi_1[/mm] und [mm]phi_2[/mm] ?
>
[mm]a=0, \ b=1,\ \phi_{1}=0, \ \phi_{2}=1-x[/mm]
> Als Stammfunktion erhalte ich (nach beiden Variabeln
> integriert)
>
> [mm]\bruch{x^{n+1}y^{m+1}}{(1+m)(1+n)}[/mm]
Hier muss Du doch zuerste über eine Variable integrieren,
dann die Grenzen einsetzen, und dann über die andere
Variable integrieren und dann ebenfall die Grenzen einsetzen.
Gruss
MathePower
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Ich hänge jetzt bei folgendem Integral l
[mm] \bruch{1}{m+1}\integral_{0}^{1}{x^n*(1-x)^m dx}
[/mm]
Ich habe da jetzt versucht paar Mal partiell zu integrieren [mm] (f'(x)=x^n [/mm] und [mm] g(x)=(1-x)^m)
[/mm]
und erhalte dann sowas:
[mm] \bruch{1}{m+1}\bruch{m}{n+1}\bruch{m-1}{n+2}\bruch{m-2}{n+3}*....
[/mm]
Aber ich kann noch keine genaue Formel erkennen, irgendetwas mit Faktorielle im Zähler.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Di 06.12.2011 | | Autor: | Omikron123 |
Wenn ich m-Mal substituiere erhalte ich
[mm] \bruch{m-(m-1)}{n+m} [/mm] was bedeutet das ich für das INtegral
[mm] \integral_{0}^{1}{x^n\cdot{}(1-x)^m dx}
[/mm]
[mm] \bruch{m!}{(n+m+1)!} [/mm] aber es sollte doch [mm] \bruch{n!m!}{(n+m+1)!}, [/mm] aber woher kommt das n??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Di 06.12.2011 | | Autor: | Omikron123 |
Hat jemand eine Idee
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> Ich hänge jetzt bei folgendem Integral l
>
> [mm]\bruch{1}{m+1}\integral_{0}^{1}{x^n*(1-x)^\red{m+1} dx}[/mm]
>
> Ich habe da jetzt versucht paar Mal partiell zu integrieren
Jetzt auch von mir richtig:
[mm] x^n*(1-x)^\red{m+1}=x^n\left(\sum_{i=0}^{m+1}\binom{m+1}{i}(-x)^i\right)=\sum_{i=0}^{m+1}\binom{m+1}{i}(-1)^i x^{n+i}.
[/mm]
Damit kannst Du gut summandenweise integrieren.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Ich hänge jetzt bei folgendem Integral l
> >
> > [mm]\bruch{1}{m+1}\integral_{0}^{1}{x^n*(1-x)^\red{m+1} dx}[/mm]
>
> >
> > Ich habe da jetzt versucht paar Mal partiell zu integrieren
> Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht:
>
> [mm]x^n*(1-x)^{m+1}=x^n-x^{n+m+1}.[/mm]
hallo kamaleonti,
obiges würde ich mir noch mal überlegen. Es ist [mm] x^n-x^{n+m+1}=x^n(1-x^{m+1}) \ne x^n*(1-x)^{m+1}
[/mm]
Gruß FRED
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> Allerdings komme ich beim Nachrechnen gerade auch nicht auf
> die angegebene Formel (?).
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Di 06.12.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo fred97,
> obiges würde ich mir noch mal überlegen. Es ist
> [mm]x^n-x^{n+m+1}=x^n(1-x^{m+1}) \ne x^n*(1-x)^{m+1}[/mm]
oje, Schnellschuss. Der Exponent steht außerhalb der Klammer...
Danke für den Hinweis.
LG
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