überabzählbare Menge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Di 21.10.2014 | | Autor: | mariem |
Hallo!!!
Wie zeigt man dass eine Menge überabzählbar ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Di 21.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Da die Frage sehr allgemein gehalten ist, wird die Antwort das auch sein.
Es bietet sich ein Beweis durch Widerspruch an. Dazu nimmst du an, deine Menge $M$ sei abzählbar.
Dann existiert eine surjektive Abbildung
[mm] $\IN \rightarrow [/mm] M$
Wenn es dir nun gelingt, ein Element [mm] $m\in [/mm] M$ zu definieren, welches nicht im Bild deiner Surjektiven Abbildung liegt, dann bist du fertig.
Möglicherweise hilft dir aber auch eine injektive Abbildung
$M [mm] \rightarrow \IN$ [/mm] eher weiter, das hängt von der Menge $M$ ab.
In dem Fall musst du zwei Elemente von $M$ finden, die auf das gleiche Element in [mm] $\IN$ [/mm] abgebildet werden. Aus dem Bauch heraus würde ich die erste Variante als vielversprechender abtun, so funktioniert auch unter anderem Cantors zweites Diagonalargument und der Beweis, dass [mm] $Pot(\IN)$ [/mm] überabzählbar ist.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Di 21.10.2014 | | Autor: | mariem |
Wenn die Menge M eine unendliche sigma-Algebra ist, muss ich ein Element m [mm] \in [/mm] M finden dass nicht imm Bild der Surjektiven Abbildung liegt.
In einer sigma-Algebra [mm] \mathcal{A} [/mm] gibt es folgende Elements:
[mm] \varnothing \in \mathcal{A}
[/mm]
Wenn A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] dann [mm] X\setminus [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
Wenn [mm] A_n \in \mathcal{A} [/mm] dann [mm] \cup A_n \in \mathcal{A}
[/mm]
Wie kann ich aber so ein Element finden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Di 21.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Okay, du willst zeigen, dass jede Sigma-Algebra endlich oder Überabzählbar ist.
Nimm die Existenz einer abzählbar unendlichen Sigma-Algebra $A$ an. Betrachte die Mengen:
[mm] $M_x:=\bigcap_{B\in A, x\in B} [/mm] B$
Kommst du weiter?
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Die Antwort darauf ist wohl nein.
Mariem hat diesen Hinweis bereits andernorts erhalten:
http://www.onlinemathe.de/forum/Unendliche-sigma-Algebra-eine-ueberabzaehlbare-Menge
um dann hierherzukommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Di 21.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Das gibt böses Karma 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Di 21.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wenn die Menge M eine unendliche sigma-Algebra ist, muss
> ich ein Element m [mm]\in[/mm] M finden dass nicht imm Bild der
> Surjektiven Abbildung liegt.
Von welcher Abbildung redest Du ?
>
> In einer sigma-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] gibt es folgende
> Elements:
> [mm]\varnothing \in \mathcal{A}[/mm]
> Wenn A [mm]\in \mathcal{A}[/mm] dann
> [mm]X\setminus[/mm] A [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
> Wenn [mm]A_n \in \mathcal{A}[/mm] dann
> [mm]\cup A_n \in \mathcal{A}[/mm]
>
> Wie kann ich aber so ein Element finden?
Bevor ich mich Deiner Frage widme, eine Vermutung:
Du sollst sicher zeigen, dass eine unendliche [mm] \sigma [/mm] - Algebra überabzählbar ist.
Stimmts ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Di 21.10.2014 | | Autor: | mariem |
> Bevor ich mich Deiner Frage widme, eine Vermutung:
>
> Du sollst sicher zeigen, dass eine unendliche [mm]\sigma[/mm] -
> Algebra überabzählbar ist.
>
> Stimmts ?
>
> FRED
>
Ja, genau...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:30 Mi 22.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Du hast meine PN gesehen?
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Hiho,
auch wenn MacMaths Antwort nicht falsch ist, so vergisst sie doch den "normalsten" Weg über die Definition:
1.) Du zeigst, dass es eine Bijektion zwischen deiner Menge und einer anderen Menge gibt, von der bereits bekannt ist, dass sie überabzählbar ist.
2.) Anstatt 1.) reicht es sogar zu zeigen, dass sich eine überabzählbare Menge injektiv in deine zu untersuchende Menge abbilden lässt.
Gruß
Gono
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