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| Aufgabe | In der Schule erkläre ich die Überabzählbarkeit des Intervalls (0,1). Ein Schüler wendet aber ein: "Jede rationale Zahl hat eine Dezimalentwicklung, also kann man das selbe Argument anwenden, um zu zeigen, dass die rationalen ahlen zwischen 0 und 1 nicht abzählbar sind. Aber wir wissen doch schon, dass eine Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] höchstens abzählbar ist, also muss doch in dem Beweis für die Überabzählbarkeit von (0,1) ein fehler sein.
Wie antworten sie? |
Hmm....was genau soll ich den hier machen? ich habe gerade mal den Beweis der Überabzählbarkeit für [mm] \IR [/mm] aufegschrieben, aber um die reellen zahlen geht es ja hier eigentlich nicht..
Bin über Tipps dankbar!
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
ich nehme an, dass die Überabzählbarkeit mit Cantors Diagonalbeweis gezeigt wurde: dazu hast Du ja nichts angegeben.
Da wird ja aus einer (fiktiven) geordneten Liste mit einer bestimmten Regel eine Zahl konstruiert, die in der Liste bisher nicht enthalten sein kann.
Wenn man das gleiche Verfahren auf [mm] \IQ [/mm] anwendet, muss man aber zeigen, dass es möglich ist, die Liste so zu ordnen, dass die neu zu konstruierende Zahl rational ist.
Tja, und da stellt sich die Frage, die man dem (fiktiven) Schüler stellen könnte: kann man das sicherstellen? Oder kann man zeigen, dass diese alles entscheidende Zahl eben irrational ist?
Was wäre jetzt Deine Antwort?
Grüße
reverend
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Der gaedanke kam mir ja auch, und man kann es sicherstellen! aber ich muss zeigen wie! Und genau DAS ist mein Problem, weil ich nicht weiß wie!
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ok, stimmt genau. Man kann es sicherstellen.
Die konstruierte Zahl kann ja vorher nicht in der Liste gestanden haben. Das widerspricht aber einer Voraussetzung des Beweises in [mm] \IQ, [/mm] denn die Liste umfasst ja ...
... was genau?
Grüße
reverend
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[mm] okay....\IQ [/mm] ist abzählbar, aber nicht überabzählbar...demnach ist [mm] \IQ=\IR???
[/mm]
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Hallo,
> [mm]okay....\IQ[/mm] ist abzählbar, aber nicht
> überabzählbar...
Stimmt wohl. Aber dazu gab es doch Schülerwiderspruch, den Du entkräften solltest. Wie denn?
Und wie war die Voraussetzung der Auflistung von [mm] \IQ [/mm] ?
(wenn ich nochmal auf die Frage von vorhin zurückkommen darf)
> demnach ist [mm]\IQ=\IR???[/mm]
Wieso das? Was ist denn [mm] \IR, [/mm] abzählbar oder überabzählbar?
Grüße
reverend
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na [mm] \IR [/mm] ist überabzählbar! ich weiß echt nicht, wie ich das bei der Aufgabe zeigen soll in Bezug auf [mm] \IQ....
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mi 24.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> na [mm]\IR[/mm] ist überabzählbar! ich weiß echt nicht, wie ich
> das bei der Aufgabe zeigen soll in Bezug auf [mm]\IQ....[/mm]
;Mein Gott ! Reverend hat doch alles wunderbar gesagt.
Das wichtigste aus reverends Antwort:
"Wenn man das gleiche Verfahren auf $ [mm] \IQ [/mm] $ anwendet, muss man aber zeigen, dass es möglich ist, die Liste so zu ordnen, dass die neu zu konstruierende Zahl rational ist."
Und genau das kann man nicht sicherstellen !!!
Fertig.
FRED
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Ja, aber ich denke nicht, dass eine "einfache Aussage" als Aufgabenlösung reichen wird! DAS meine ich damit!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mi 24.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja, aber ich denke nicht, dass eine "einfache Aussage" als
> Aufgabenlösung reichen wird!
Doch es reicht
FRED
> DAS meine ich damit!
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hmm....okay...weil auf die Aufgabe gibt es mehr Punkte als auf manch andere Aufgaben, bei denen seitenweise Rechnerei ist! das hatte mich irritiert!
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Hallo nochmal,
> hmm....okay...weil auf die Aufgabe gibt es mehr Punkte als
> auf manch andere Aufgaben, bei denen seitenweise Rechnerei
> ist! das hatte mich irritiert!
Rechnen ist eben einfacher als Denken. 
So einfach ist der Satz übrigens gar nicht. Hier mal ohne formale Sprache:
Wir ordnen alle rationalen Zahlen im Intervall [0,1] aufsteigend (oder nach irgendeinem anderen Kriterium) an und wenden Cantors "Diagonaltrick" auf diese Liste an und konstruieren so eine Zahl z.
Da z sich von jeder der gelisteten Zahlen in mindestens einer Ziffer unterscheidet, kann z in der Liste nicht enthalten gewesen sein.
Es gibt nun zwei Möglichkeiten:
1) z ist rational. Das scheint ein Widerspruch zu sein (wie beim gleichen Beweis mit reellen Zahlen), zeigt aber nur, dass die Liste nicht vollständig war. Also z auch noch in die Liste eintragen und wieder von vorn...
2) z ist irrational. Das führt zu keinem Widerspruch zur Annahme einer vollständigen Liste rationaler Zahlen!
Was folgt nun daraus?
Wenn eine vollständige Auflistung möglich ist (und mindestens eine können wir ja angeben), dann ist z zwingend irrational.
Damit ist die Abzählbarkeit allerdings nicht bewiesen, aber das Schülerargument widerlegt.
Und um mehr ging es in der Aufgabenstellung nicht.
Grüße
reverend
PS: Und wenn Du das jetzt in eine schöne formale Notation übersetzt, hast Du Dir Deine Punkte immer noch redlich verdient. 
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