Überbestimmtes LGS lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe folgendes überbestimmtes LGS:
[mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*b*\wurzel{2}*\wurzel{\pi} [/mm] (1)
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{(2-\bruch{1}{2}*\pi)}*b [/mm] (2)
Nun möchte ich b in Abhängigkeit von [mm] \mu [/mm] UND [mm] \sigma [/mm] darstellen.
Ich habe nun (1) und (2) in Relation zueinander gebracht und nach b aufgelöst.
Bspw.:
[mm] \mu-\sigma [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*b*\wurzel{2}*\wurzel{\pi}-\wurzel{(2-\bruch{1}{2}*\pi)}*b [/mm] (3.1)
[mm] \Rightarrow [/mm] b = [mm] -.4589134584*\mu+.4589134584*\sigma [/mm] (3.2)
ODER bei einer anderen Relation:
[mm] \bruch{\mu}{\sigma} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}*b*\wurzel{2}*\wurzel{\pi}}{\wurzel{(2-\bruch{1}{2}*\pi)}*b} [/mm] (4.1)
[mm] \Rightarrow [/mm] b = [mm] 7.652233521*\bruch{\mu}{\sigma} [/mm] (4.2)
Das problematische ist aber nun, dass je nach verwendeter Relation sowohl
[mm] \bruch{\partial b}{\partial \mu} [/mm] < 0 , als auch [mm] \bruch{\partial b}{\partial \mu} [/mm] > 0, bzw. sowohl
[mm] \bruch{\partial b}{\partial \sigma} [/mm] < 0 , als auch [mm] \bruch{\partial b}{\partial \sigma} [/mm] > 0 gelten kann.
Das würde jedoch (bei Verwendung dieser Lösungen für b) zu einem Widerspruch in meinen Ergebnissen führen, da bei beiden verwendeten Relationen [mm] \mu [/mm] mit "positivem Effekt" und [mm] \sigma [/mm] mit "negativem Effekt" eingegangen ist.
Nun meine Frage: Ist diese Vorgehensweise, um b in Abhängigkeit von [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] darzustellen überhaupt zulässig, bzw. welchem Gedankenfehler unterliege ich gerade?
Ich danke im Voraus für jede helfende Klärung.
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Hallo el.titeritero,
da sitzt Du in der Tat einem Denkfehler auf.
Da sowohl [mm] \mu [/mm] als auch [mm] \sigma [/mm] nur lineare Vielfache von b sind, kannst Du [mm] b(\mu,\sigma) [/mm] auf unendlich viele Weisen darstellen.
Statt Deines Ansatzes [mm] \mu-\sigma=... [/mm] hättest Du ja genauso [mm] \mu-2\sigma=... [/mm] oder [mm] 9.182\sigma+\wurzel{\pi}\mu=... [/mm] nehmen können und würdest jedesmal ein anderes Ergebnis erhalten.
Warum brauchst Du denn unbedingt die Abhängigkeit von beiden? Wenn [mm] \mu [/mm] feststeht, ist doch auch [mm] \sigma [/mm] bestimmt, und umgekehrt.
Grüße
reverend
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Ich möchte zeigen, welche [mm] \mu-\sigma-Bewertungsfunktionen [/mm] vereinbar sind mit der Anwendung bestimmter Nutzenfunktionen für gegebene Verteilungsannahmen.
Z.B. Ist CARA eine Nutzenfunktion die wie folgt definiert ist:
CARA(x) = [mm] -e^{-\phi*x}
[/mm]
unter der Annahme der Normalverteilung ergibt sich folgender Nutzenerwartungswert:
[mm] EW(CARA)=-e^{-\bruch{1}{2}*\phi*(-\phi*\sigma^{2}+2*\mu)}
[/mm]
Der entsrepchende Ordinatenabschnitt des Nutzenerwartungswertes ergibt die [mm] \mu-\sigma-Bewertungsfunktion, [/mm] die vereinbar ist mit der Anwendung der CARA-Nutzenfunktion auf normalverteilte Daten.
In diesem Fall: [mm] \mu-\bruch{1}{2}*\phi*\sigma^{2}
[/mm]
Das möchte ich nun für diverse Nutzenfunktionen und diverse Verteilungsannahmen zeigen.
Allerdings haben nicht alle Dichtefunktionen zwei Verteilungsparameter, wie die Normalverteilung und im Übrigen repräsentieren diee Verteilungsparameter nicht wie im Fall der NV genau Erwartungswert und Varianz. Ergo muss ich die Verteilungsparameter durch Ausdrücke von [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] ersetzen, um eine [mm] \mu-\sigma-Bewertungsfunktion [/mm] zu erhalten, die vereinbar ist mit der verwendeten Nutzenfunktion unter der gegebenen Verteilungsannahme.
Zu obigem überbestimmten LGS bin gekommen, indem ich jeweils Mittelwert und Varianz der Rayleigh-Verteilung in Abhängigkeit des einzigen Parameters der Rayleigh-Verteilung dargestellt habe.
Rayleigh: f(x) = [mm] \bruch{x*e^{-\bruch{1}{2}*\bruch{x^{2}}{b^{2}}} }{b^{2}} [/mm]
Ich wusste, dass es bei der Lösung des überbestimmten LGS unendlich viele Lösungen gibt, aber ich habe nicht erwartet, dass die Lösungen widersprüchlich im oben genannten Sinne ausfallen würden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mo 31.05.2010 | | Autor: | schotti |
aus [mm] $\mu [/mm] = [mm] k_1 \cdot [/mm] b$ und [mm] $\sigma =k_2 \cdot [/mm] b$ kannst du allenfalls folgern, dass $b = [mm] \frac{\mu - \sigma}{k_1-k_2}$, [/mm] was wohl deiner gleichung (3.2) entspricht.
aber wie du aus deiner gleichung (4.1) nach dem kürzen mit $b$ die gleichung (4.2) erhältst, ist mir ein wenig schleierhaft...
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