überdämpfte Schwingung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 So 24.03.2013 | | Autor: | ralfr |
Hallo ich hänge wieder einmal an der Lösung einer Differentialgleichung.
$ [mm] \frac{d^2x}{dt^2} [/mm] + [mm] \gamma \frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=0 [/mm] $
Bei der Überdämpfung muss ja:
$ [mm] \frac{\gamma^2}{4}-\omega_0^2>0 [/mm] $
Nun steht hier die Lösung:
[mm] $x(t)=\frac{x_0}{\lambda_1-\lambda_2}(\lambda_1e^{\lambda_2t}-\lambda_2e^{\lambda_1t})$
[/mm]
Jedoch komme ich wieder einmal nciht auf die Lösung. Die Anfangsbedingungen sind: [mm] $x(0)=x_0$ [/mm] und [mm] $\frac{dx}{dt}=0$ [/mm] bei $t=0$
also dann ist:
[mm] $x_0=c_1+c_2$
[/mm]
und
[mm] $0=c_1\lambda_1+c_2\lambda_2$
[/mm]
richtig? Aber ich weiß nun nicht, wie ich es Trennen kann.
Wenn ich einfach Substituiere also [mm] $c_2=x_0-c_1$ [/mm] und dann in die 2. Gleichung einsetze habe ich ja 2 mal [mm] $c_1$ [/mm] und ich weiß nicht, wie ich damit umgehen kann. Ich hoffe jemand kann mir einmal den Lösungsweg zeigen oder erläutern?
Dankeschön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 So 24.03.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo ich hänge wieder einmal an der Lösung einer
> Differentialgleichung.
> [mm]\frac{d^2x}{dt^2} + \gamma \frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=0[/mm]
>
> Bei der Überdämpfung muss ja:
> [mm]\frac{\gamma^2}{4}-\omega_0^2>0[/mm]
>
> Nun steht hier die Lösung:
>
> [mm]x(t)=\frac{x_0}{\lambda_1-\lambda_2}(\lambda_1e^{\lambda_2t}-\lambda_2e^{\lambda_1t})[/mm]
>
> Jedoch komme ich wieder einmal nciht auf die Lösung. Die
> Anfangsbedingungen sind: [mm]x(0)=x_0[/mm] und [mm]\frac{dx}{dt}=0[/mm] bei
> [mm]t=0[/mm]
> also dann ist:
> [mm]x_0=c_1+c_2[/mm]
> und
> [mm]0=c_1\lambda_1+c_2\lambda_2[/mm]
> richtig? Aber ich weiß nun nicht, wie ich es Trennen
> kann.
> Wenn ich einfach Substituiere also [mm]c_2=x_0-c_1[/mm] und dann in
> die 2. Gleichung einsetze habe ich ja 2 mal [mm]c_1[/mm] und ich
> weiß nicht, wie ich damit umgehen kann. Ich hoffe jemand
wenn Du [mm] $c_2$ [/mm] in die zweite Gleichung einsetzt bekommst Du eine Gleichung, die nur noch von [mm] $c_1$ [/mm] abhängt, diese kannst Du nach [mm] $c_1$ [/mm] auflösen. Wenn Du dann [mm] $c_1$ [/mm] hast kannst Du damit auch [mm] $c_2$ [/mm] berechnen.
> kann mir einmal den Lösungsweg zeigen oder erläutern?
> Dankeschön
Gruß,
notinX
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