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Übergangsmatrix, ähnl. zu A17: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Sa 07.10.2006
Autor: Marc

Aufgabe
Bei einer Insektenart entwickeln sich aus den Eiern innerhalb eines Monats Larven und aus diesen nach einem weiteren Monat wieder ein Insekt. Aus Erfahrung weiß man, dass aus 100 Eiern, die ein Insekt legt, 20% zu Larven werden und von diesen sich 40% zu vollständigen Insekten entwickeln.

a) Beschreiben Sie eine Stufe des Prozesses durch eine Übergangsmatrix $A$.

b) Untersuchen Sie, wie sich eine Insektenpopulation über 5 Monate entwickelt, die aus 30 Eiern, 20 Larven und 10 Insekten besteht.

c) Es werden Maßnahmen zur Bekämpfung der Insekten ergriffen:

- Ein Wirkstoff vernichtet für einen Monat nur die Insekten und Larven.
- Ein anderer Wirkstoff beeinflusst die Entwicklung so, dass ein Insekt nur noch 15 Eier ablegt.
Untersuchen Sie die Wirksamkeit dieser Maßnahmen.

d) Zeigen Sie, dass für eine Übergangsmatrix $B$ mit [mm] $B=\pmat{0&0&c\\a&0&0\\0&b&0}$ [/mm] mit [mm] $a,b,c\in\IR$ [/mm] gilt:

[mm] $B^{3n}=\pmat{(abc)^n & 0 & 0 \\ 0 & (abc)^n & 0 \\ 0 & 0 & (abc)^n}=(abc)^n*\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$ [/mm]

Erläutern Sie ihre Bedeutung für die Beurteilung einer Bekämpfungsmaßnahme für die Insekten.

aus MBisbn3127323301

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