Überl. zur Reihenkonvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi!
Hab folgende Unklarheiten zu Majorantenkriterium / Quotientenkriterium
Wir haben damit erst gerade angefangen (war leider am Mo nur krank), hab mich im Internet und Script erkundigt, dachte mir, suche ein paar Übungsbeispiele und rechne sie:
Wäre nett, wenn jemand mal drüber schauen könnte, paar Ansätze hab ich extra reingeschrieben, auch wenn sie nichts bringen.
[Soll ja Übung sein, und da bringt auch der Misserfolg was, bzw. zu sehen, was wo nicht klappt.]
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{1}{an+b} [/mm] wobei a,b>0 sind
Hier hab ich mal versucht mit der Majorante, aber ich denke das bringt nichts
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{1}{an+b}= \bruch{1}{b} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{an+b} \le \bruch{1}{b} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n} [/mm] divergiert ja..
Von daher kann über Konvergenz nichts ausgesagt werden, weil das Majorantenkriterium nicht erfüllt ist und Minorante auch net, da ja größer..
Bringt also nüx ... ?
Quotientenkriterium
[mm] \vmat{ \bruch {a_{n+1} }{a_{n} } }=\bruch{an+b}{a(n+1)+b} \le \bruch{b}{a+b}=:Teta<1
[/mm]
(n=0 gewählt)
Ich weiß hier net genau,... Eigentlich divergiert die Reihe, wie ich meine !
Da a,b > 0 ist der Zähler immer kleiner als der Nenner, also < 1
Aber eigentlich geht ja das QK < p < 1, man darf sich ja net beliebig nah an 1 nähern ! Was also ?
HMM, Partialbruchzerlegung bringt hier auch nichts, da ja nur ein Faktor im Nenner...
Andere Aufgaben habe ich mit Partialzerlegung gelöst, so hab ich bei:
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{1}{(2n+1)(2n+3)}.
[/mm]
Die Partialzerlegung:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] \bruch {1}{2n+1}-\bruch{1}{2n+3})
[/mm]
[mm] s_{k}=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2(2k+3)}
[/mm]
Also [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}= \bruch{1}{2}
[/mm]
Wobei, wenn die Aufgabe ist, bestimmen sie das Konvergenzverhalten und den möglichen Grenzwert, dann hab ich doch mathematisch gesehen, nur den Grenzwert bestimmt oder ?
Alles bissle fraglich ?
Wäre nett, wenn sich jemand mit meinen Gedanken auseinandersetzen würde.. [Ansonsten keine Panik] ;)
Faenôl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:17 Do 25.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hi!
> Hi!
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> Hab folgende Unklarheiten zu Majorantenkriterium /
> Quotientenkriterium
> Wir haben damit erst gerade angefangen (war leider am Mo
> nur krank), hab mich im Internet und Script erkundigt,
> dachte mir, suche ein paar Übungsbeispiele und rechne
> sie:
>
> Wäre nett, wenn jemand mal drüber schauen könnte, paar
> Ansätze hab ich extra reingeschrieben, auch wenn sie nichts
> bringen.
> [Soll ja Übung sein, und da bringt auch der Misserfolg
> was, bzw. zu sehen, was wo nicht klappt.]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{1}{an+b}[/mm] wobei a,b>0 sind
> Hier hab ich mal versucht mit der Majorante, aber ich
> denke das bringt nichts
>
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{1}{an+b}= \bruch{1}{b}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{an+b} \le \bruch{1}{b}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n}[/mm]
Nein, wenn schon, dann könntest du nach dem letzten [mm] $\le$ [/mm] nur so abschätzen:
[m]\le \frac{1}{b}+\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{an}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n}[/m]
Deine Abschätzung wäre nur gültig für $a [mm] \ge [/mm] 1$!
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n}[/mm] divergiert ja..
> Von daher kann über Konvergenz nichts ausgesagt werden,
> weil das Majorantenkriterium nicht erfüllt ist und
> Minorante auch net, da ja größer..
> Bringt also nüx ... ?
Nü, düt brüngt nüx. 
Aber:
1. Fall: Für $0<a [mm] \le [/mm] b$ gilt:
[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{1}{an+b}= \bruch{1}{b}+\summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{1}{an+b} \ge
\summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{1}{bn+b}=\frac{1}{b}\summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{1}{n+1}\ge \frac{1}{b}\summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{1}{n+n}=\frac{1}{2b}\summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{1}{n} [/mm]
Damit erhältst du was?
2. Fall: $0 < b [mm] \le [/mm] a$: analog.
> Quotientenkriterium
> [mm]\vmat{ \bruch {a_{n+1} }{a_{n} } }=\bruch{an+b}{a(n+1)+b} \le \bruch{b}{a+b}=:Teta<1
[/mm]
>
>
> (n=0 gewählt)
Nein, du darfst beim Quotientenkriterium nicht ein $n$ wählen, sondern mußt [mm]\limsup_{n \to \infty}\vmat{ \bruch {a_{n+1} }{a_{n} } }[/mm] (bzw. [mm]\liminf_{n \to \infty}\vmat{ \bruch {a_{n+1} }{a_{n} } }[/mm]) ausrechnen. Hier wäre:
[mm]\limsup_{n \to \infty}\vmat{ \bruch {a_{n+1} }{a_{n} } }=\limsup_{n \to \infty}\bruch{an+b}{a(n+1)+b}=\lim_{n \to \infty}\bruch{an+b}{a(n+1)+b}=1=\liminf_{n \to \infty}\vmat{ \bruch {a_{n+1} }{a_{n} }[/mm] und deswegen wäre mit dem Quotientenkriterium keine Aussage möglich.
(Quotientenkriterium:
Falls [m]\limsup_{n \to \infty}\vmat{ \bruch {a_{n+1} }{a_{n} } }<1[/m] [m]\Rightarrow[/m] Konvergenz der entspr. Reihe.
Falls [m]\liminf_{n \to \infty}\vmat{ \bruch {a_{n+1} }{a_{n} } }>1[/m] [m]\Rightarrow[/m] Divergenz der entspr. Reihe.
Aber für $=1$ kann man i.A. keine Aussage treffen! )
> Ich weiß hier net genau,... Eigentlich divergiert die
> Reihe, wie ich meine !
Das meine ich auch.
> [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{1}{(2n+1)(2n+3)}.
[/mm]
> Die Partialzerlegung:
> [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] \bruch {1}{2n+1}-\bruch{1}{2n+3})
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] s_{k}=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2(2k+3)} $\red{(\star)}$
[/mm]
Ich nehme an, dass [m]s_k=\summe_{n=0}^k\bruch{1}{(2n+1)(2n+3)[/m] gilt. Alles ok, wegen deiner Idee mit der Partialbruchentwicklung und mithilfe von [mm] $\red{(\star)}$ [/mm] kommt dann:
> Also [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}= \bruch{1}{2} [/mm]
Noch zu deiner Frage:
> Wobei, wenn die Aufgabe ist, bestimmen sie das Konvergenzverhalten
> und den möglichen Grenzwert, dann hab ich doch mathematisch
> gesehen, nur den Grenzwert bestimmt oder ?
Du hast hier den Grenzwert der Teilsummenfolge berechnet/nachgewiesen, und damit gezeigt, dass die Reihe einen Grenzwert hat, also konvergent ist. Du hast also insbesondere, in dem du einen Grenzwert nachgewiesen hast, gezeigt, dass die Reihe konvergent ist.
Ich gehe jetzt mal lieber schlafen.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
So nebenbei: Hier mal ein Skript zum Nachschlagen, Kapitel 6.):
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Viele Grüße,
Marcel
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