überlagerung 2er schwingungen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Di 19.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | | 2 Schwingungen gleicher Amplitude mit den Frequenzen 900Hz und 905 Hz werden überlagert. In welchen zeitlichen Abständen treten die Schwebungsmaxima auf. |
Habe mal im buch nachgeschaut
habe einfach gerechnet fs=f2-f1 also fs=905hz-900hz.
dann 1/fs = Ts = 0,2s
und Ts ist ja im prinzip der zeitliche abstand der beiden maxima
stimmt das
danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Di 19.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Habs mir grad via Funktionsplotter angesehen, und die Amplituden überlagern sich alle 2s.
Stimmt also.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 19.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
björn zeigte ja den Rechenweg auf, indem er die beiden Frequenzen subtrahiert hat, und dann die Schwingungsdauer via T=1/f berechnet hat. Das Ergebnis scheint auch zu stimmen.
Ich hatte aber noch eine andere Überlegung:
Man kann die Schwingungen der beiden Wellen am Ort ihres entstehens doch durch [mm] s(t)=s_{max} \cdot \cos(\omega [/mm] t) ausdrücken (den Cosinus, da ich möchte, dass sich die Amplituden bei t=0 überlagern).
Demnach müsste für die eine Schwingung
[mm] s(t)=s_{max} \cdot \cos(2\pi \cdot [/mm] 400Hz [mm] \cdot [/mm] t)
gelten und für die zweite
[mm] s(t)=s_{max} \cdot \cos(2\pi \cdot [/mm] 405Hz [mm] \cdot [/mm] t)
Jetzt kann man das ganze mal gleichsetzten, und es steht dann dort:
[mm] cos(2\pi \cdot [/mm] 400Hz [mm] \cdot t)=cos(2\pi \cdot [/mm] 405Hz [mm] \cdot [/mm] t)
Jetzt gilt es, dass die beiden Ausdrücke zur selben(!) Zeit irgendein Vielfaches sein müssen von [mm] 2\pi, [/mm] damit der Cosinus 1 ergibt (damit beide also zur selben Zeit die Amplitude haben. Das wäre dann ein Schwebungsmaximum, da ich ja immer direkt am Quellenstandpunkt gucke).
Es müsst also gelten:
$400Hz [mm] \cdot [/mm] t=k$ mit $k [mm] \in \IN$ [/mm] und
$405Hz [mm] \cdot [/mm] t=q$ mit $q [mm] \in \IN$
[/mm]
Damit ist dann gewährleistet, dass das Argument des Cosinus ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] ist.
Wenn ich das dann weiter verfolge, und sage, dass die beiden t gleich sein müssen, müsste ich das doch auch irgendwie mathematisch "packen" können.
Ich fordere ja jetzt nur, dass das Produkt aus 400 und t als auch 405 und t eine ganze Zahl ergibt.
Wie bekomme ich denn jetzt heraus, welche das kleinste t ist, für das das gilt?
Wenn ich mir t=0.2s angucke, sehe ich schon, dass das passt [mm] (400\cdot [/mm] 0.2=80 und [mm] 405\cdot [/mm] 0.2=81), erfüllt es also, aber wie kann ich das rechnerisch anfassen?
Denn das ist gerade die Stelle, an der ich nicht weiterkomme. Ich weiß zwar, dass t=0.2s passt, und somit alle Vielfachen von 0.2s, aber warum bzw. wie ich das aus der Rechnung herausbekomme weiß ich nicht.
EDIT: Gut, habe die beiden Brüche jetzt mal durch ein kgV Programm geschickt, und es kam 0.2 heraus, aber wie kann man das mathematisch schnell erfassen?
Naja, noch eine Sache: Ich werde mal noch weiter darüber nachdenken, warum der Rechenweg von björn richtig ist. Rein Gefühlsmäßig würde ich sagen, dass es stimmt, was ja auch die Rechnung zeigt, aber wenn noch jemand eine gute Erklärung parat hat, warum man das so sehen kann, wäre ich auch dankbar.
Werde mir aber gleich auch nochmal einen anderen Rechenweg überlegen.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Di 19.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
noch eine Alternativüberlegung:
Schwingung 1 braucht T1=1/905 s, um einmal durchzuschwingen.
Schwingung 2 bruacht T2=1/900 s, um einmal durchzuschwingen.
Pro Schwingung "hinkt" Welle 2 also um [mm] \Delta [/mm] T=1/900-1/905 Sekunden hinterher.
Jetzt treffen die Amplituden aufeinander, wenn die Amplitude von Welle 2 genau einer kompletten Schwingung von Welle 1 hinterherhinkt.
Also: [mm] x*\Delta [/mm] T=1/905 s <=> x=180
Sprich: Nach 180 Schwingungen von Welle 2 treffen sich die Amplituden wieder.
In den 180 Schwingungen von Welle 2 ist genau t=180/900 s=0.2 s an Zeit vergangen.
Also: Nach 0.2s treffen sich die Maxima der Schwebungen.
Ist das so auch okay?
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Di 19.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kroni
deine Beiden Rechen, bzw. Überlegungswege sind richtig.
das KgV kannst du finden, wenn du überlegst, dass der eine in der gesuchten Zeit genau eine Schwingung mehr machen muss als der andere. und mit 900:5 kommst du dann auf die 180, bzw 905:5 auf die 181 Schwingungen.
der übliche Rechenweg ist : $A*cosw1t+A*cosw2t=Acos((w1+w2)/2*t+(w1-w2)/2*t)+A*cos((w1+w2)/2*t-(w1-w2)/2*t)$
daraus mit Additionstheorem cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
=2A*cos((w1-w2)/2*t*cos((w1+w2)/2*t
wenn w1+w2>>w1-w2 kann man 2A*cos((w1-w2)/2*t als langsam veränderliche Amplitude einer Schwingung mit der "mittleren" Frequenz (w1+w2)/2 auffassen.
2A*cos((w1-w2)/2*t ist dann die einhüllende der Kurve.
Da es nur auf den Betrag der Kurve für die Lautstärke ankommt, ist die Schwebungsfrequens dann 2*|(f1-f2)/2|
Das ist die exakte math. Herleitung, aber die anderen Argumente sind eigentlich schöner, weil sie es erklären.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Di 19.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo Kroni
> deine Beiden Rechen, bzw. Überlegungswege sind richtig.
> das KgV kannst du finden, wenn du überlegst, dass der eine
> in der gesuchten Zeit genau eine Schwingung mehr machen
> muss als der andere. und mit 900:5 kommst du dann auf die
> 180, bzw 905:5 auf die 181 Schwingungen.
Hi,
stimmt. So kann man das auch sehen (ist ja im Prinzip das selbe =)).
> der übliche Rechenweg ist :
> [mm]A*cosw1t+A*cosw2t=Acos((w1+w2)/2*t+(w1-w2)/2*t)+A*cos((w1+w2)/2*t-(w1-w2)/2*t)[/mm]
> daraus mit Additionstheorem cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
> =2A*cos((w1-w2)/2*t*cos((w1+w2)/2*t
> wenn w1+w2>>w1-w2 kann man 2A*cos((w1-w2)/2*t als langsam
> veränderliche Amplitude einer Schwingung mit der
> "mittleren" Frequenz (w1+w2)/2 auffassen.
> 2A*cos((w1-w2)/2*t ist dann die einhüllende der Kurve.
> Da es nur auf den Betrag der Kurve für die Lautstärke
> ankommt, ist die Schwebungsfrequens dann 2*|(f1-f2)/2|
> Das ist die exakte math. Herleitung, aber die anderen
> Argumente sind eigentlich schöner, weil sie es erklären.
Okay, die math. Herleitung werde ich mir gleich in Ruhe angucken, und das ganze mal auf ein Blatt schreiben.
> Gruss leduart
>
Danke für deine Antwort=)
LG
Kroni
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