Überprüfen ob Mannigfaltigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Di 15.04.2014 | | Autor: | ralpho |
| Aufgabe | | [mm] $\text{Für welche c definiert } x^2+y^2-z^6=c \text{ eine Mannigfaltigkeit im } \mathbb{R}^3$ [/mm] |
Hallo,
Ich habe obige Aufgabe gegeben. Ich habe das ganze nun in eine implizit def. Form umgeschrieben [mm] $M=\{(x,y,z): x^2+y^2-z^6-c=0\}$. [/mm] Nun muss ja gelten, dass $dF=(2x,2y,-6z)$ vollen Rang hat. $dF$ verschwindet nur bei $(0,0,0)$, dies liegt aber für alle $c [mm] \not= [/mm] 0$ nicht in M und somit ist die Funktion für alle diese c eine Mannigfaltigkeit.
Ist diese Vorgehensweise so korrekt?
Danke
Ralph
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Hallo,
> [mm]\text{Für welche c definiert } x^2+y^2-z^6=c \text{ eine Mannigfaltigkeit im } \mathbb{R}^3[/mm]
Ich bezeichne mal obige Punkte, die die Gleichung erfüllen mit N.
>
> Hallo,
> Ich habe obige Aufgabe gegeben. Ich habe das ganze nun in
> eine implizit def. Form umgeschrieben [mm]M=\{(x,y,z): x^2+y^2-z^6-c=0\}[/mm].
> Nun muss ja gelten, dass [mm]dF=(2x,2y,-6z)[/mm] vollen Rang hat.
Das Differential hat die Form [mm] DF=(2x,2y,-6z^5).
[/mm]
Dir ist das ^5 abhanden gekommen.
> [mm]dF[/mm]
> verschwindet nur bei [mm](0,0,0)[/mm], dies liegt aber für alle [mm]c \not= 0[/mm]
> nicht in M und somit ist die Funktion für alle diese c
> eine Mannigfaltigkeit.
Ja, also [mm] c\not=0.
[/mm]
Wobei eigentlich noch zu prüfen wäre:
In jeden Punkt der Menge gibt es offene Umgebung U des [mm] \IR^3 [/mm] und eine
reguläre Abb [mm] F:U\to\IR^1, [/mm] s.d. gilt: [mm] F^{-1}(0)=U\cap{N}
[/mm]
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> Ist diese Vorgehensweise so korrekt?
>
> Danke
> Ralph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:54 Do 17.04.2014 | | Autor: | ralpho |
Danke! :)
Der fehler mit der Ableitung ist natürlich blöd.
Die zweite Bedingung werde ich mir nochmal anschauen!
lg
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