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| Aufgabe | Bestimme sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch die Umkehrfunktion der gegebenen Ausgangsfunktion. Gib auch die jeweiligen Definitions- und Wertebereiche der Funktionen an und schränke sie bei Bedarf so ein, dass die Funktion umkehrbar ist.
f(x) = [mm] 0,2x^{2} [/mm] + 0,8x - 2,2 |
Hallo zusammen,
ich habe die Aufgabe schon soweit gelöst, jetzt würde ich gerne wissen, ob meine Lösung richtig ist.
f(x) = [mm] 0,2x^{2} [/mm] + 0,8x - 2,2
[mm] \bruch{f(x)}{0,2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + 4x - 11
[mm] \bruch{f(x)}{0,2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + 4x + [mm] 2^{2} [/mm] - [mm] 2^{2} [/mm] - 11
[mm] \bruch{f(x)}{0,2} [/mm] = [mm] (x+2)^{2} [/mm] - 7
f(x) = 0,2 [mm] \* [/mm] (x + [mm] 2)^{2} [/mm] - 1,4
S (-2|-1,4)
Definitions- und Wertebereich:
D(f) = [mm] [-2;\infty) [/mm] = [mm] W(f^{-1})
[/mm]
W(f) = [mm] [-1,4;\infty) [/mm] = [mm] D(f^{-1})
[/mm]
Die Umkehrfunktion:
x = 0,2 [mm] \* [/mm] (y + [mm] 2)^{2} [/mm] - 1,4
x + 1,4 = 0,2 [mm] \* [/mm] (y + [mm] 2)^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{x + 1,4}{0,2} [/mm] = (y + [mm] 2)^{2} [/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{x + 1,4}{0,2}} [/mm] = y + 2
[mm] \wurzel{\bruch{x + 1,4}{0,2}} [/mm] - 2 = y
= [mm] f^{-1}(x) [/mm]
Danach habe ich mit x = 0,2 [mm] \* [/mm] (y + [mm] 2)^{2} [/mm] - 1,4 eine Wertetabelle aufgestellt und mit den Ergebnissen die Zeichnung angefertigt.
Ist das so richtig?
Danke schonmal im Voraus.
Ayu_Colin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Ayu_Colin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimme sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch die
> Umkehrfunktion der gegebenen Ausgangsfunktion. Gib auch die
> jeweiligen Definitions- und Wertebereiche der Funktionen an
> und schränke sie bei Bedarf so ein, dass die Funktion
> umkehrbar ist.
>
> f(x) = [mm]0,2x^{2}[/mm] + 0,8x - 2,2
> Hallo zusammen,
>
> ich habe die Aufgabe schon soweit gelöst, jetzt würde ich
> gerne wissen, ob meine Lösung richtig ist.
>
> f(x) = [mm]0,2x^{2}[/mm] + 0,8x - 2,2
>
> [mm]\bruch{f(x)}{0,2}[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + 4x - 11
>
> [mm]\bruch{f(x)}{0,2}[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + 4x + [mm]2^{2}[/mm] - [mm]2^{2}[/mm] - 11
>
> [mm]\bruch{f(x)}{0,2}[/mm] = [mm](x+2)^{2}[/mm] - 7
>
> f(x) = 0,2 [mm]\*[/mm] (x + [mm]2)^{2}[/mm] - 1,4
>
> S (-2|-1,4)
>
>
> Definitions- und Wertebereich:
>
> D(f) = [mm][-2;\infty)[/mm] = [mm]W(f^{-1})[/mm]
Der Definitionsbereich der Funktion f ist [mm]\IR[/mm]
> W(f) = [mm][-1,4;\infty)[/mm] = [mm]D(f^{-1})[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Die Umkehrfunktion:
>
> x = 0,2 [mm]\*[/mm] (y + [mm]2)^{2}[/mm] - 1,4
>
> x + 1,4 = 0,2 [mm]\*[/mm] (y + [mm]2)^{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x + 1,4}{0,2}[/mm] = (y + [mm]2)^{2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{x + 1,4}{0,2}}[/mm] = y + 2
>
> [mm]\wurzel{\bruch{x + 1,4}{0,2}}[/mm] - 2 = y
>
> = [mm]f^{-1}(x)[/mm]
>
Das ist nur eine Umkehrfunktion, und zwar diejenige,
deren Definitions- und Wertebereich Du oben angegeben hast.
>
> Danach habe ich mit x = 0,2 [mm]\*[/mm] (y + [mm]2)^{2}[/mm] - 1,4 eine
> Wertetabelle aufgestellt und mit den Ergebnissen die
> Zeichnung angefertigt.
>
>
> Ist das so richtig?
>
> Danke schonmal im Voraus.
>
> Ayu_Colin
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Aber jetzt bin ich mir noch in einer Sache unsicher.
> Das ist nur eine Umkehrfunktion, und zwar diejenige,
> deren Definitions- und Wertebereich Du oben angegeben
> hast.
Heißt das, es müsste mehrere Umkehrfunktionen geben?
Ist meine Version jetzt falsch oder richtig?
Ich bin ein wenig ratlos. ;)
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Hallo Ayu_Colin,
> Erstmal danke für die schnelle Antwort.
>
> Aber jetzt bin ich mir noch in einer Sache unsicher.
>
> > Das ist nur eine Umkehrfunktion, und zwar diejenige,
> > deren Definitions- und Wertebereich Du oben angegeben
> > hast.
>
> Heißt das, es müsste mehrere Umkehrfunktionen geben?
Genau genommen, gibt es für jeden Bereich, in dem die
Funktion streng monoton ist, eine Umkehrfunktion.
> Ist meine Version jetzt falsch oder richtig?
Die Umkehrfunktion, die Du angegeben hast, ist richtig.
> Ich bin ein wenig ratlos. ;)
>
Gruss
MathePower
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