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Hallo, ist es eigentlich zwingend erforderlich, dass bei der Prüfung der Lage zweier Geraden (ob geschnitten, windschief, parallel, identisch) immer alle Geradengleichungen gelöst werden?
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hallo, ist es eigentlich zwingend erforderlich, dass bei
> der Prüfung der Lage zweier Geraden (ob geschnitten,
> windschief, parallel, identisch) immer alle
> Geradengleichungen gelöst werden?
Hallo,
wenn es um die Frage geht, ob sich zwei gegebene Geraden schneiden, ist das nicht unbedingt nötig. Parallelität sieht man meist auf einen Blick, die Frage ist dann nur noch, ob die Geraden identisch sind oder keinen gemeinsamen Punkt haben, was man herausbekommt, indem man einen Punkt der ersten Gerade gleichsetzt mit der zweiten.
In Deinem Beispiel ist das so. Man sieht sofort, daß der Richtungsvektor der ersten Geraden ein Vielfaches der zweiten ist.
Gruß v. Angela
P.S.: Da Du hier Hilfe erwartest, könntest Du es den potentiellen Helfern wirklich etwas leichter machen, indem DU Dir die Mühe machst, Gerechnetes per Formeleditor einzugeben.
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Vielen Dank, ja die zwei RV sind parallel oder identisch, als Folge des gleichen RV.
[mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 6 \\ -8}
[/mm]
Das erste Ergebnis ist ein Widerspruch 29 = 3 >>> ...somit wäre es eine Parallele
Das zweite Ergebnis ist -10 = -10 >>> ...also identisch
Das dritte Ergebnis wäre bei mir 67 = -11 >>> ... also wieder parallel
Gilt also die Regel, dass wenn min. 1 Ergebnis gleich ist, dann die Geraden identisch sind?
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> Vielen Dank, ja die zwei RV sind parallel oder identisch,
> als Folge des gleichen RV.
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> [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{-4 \\ 6 \\ -8}[/mm]
>
> Das erste Ergebnis ist ein Widerspruch 29 = 3 >>>
> ...somit wäre es eine Parallele
>
> Das zweite Ergebnis ist -10 = -10 >>> ...also identisch
> Das dritte Ergebnis wäre bei mir 67 = -11 >>> ... also
> wieder parallel
>
> Gilt also die Regel, dass wenn min. 1 Ergebnis gleich ist,
> dann die Geraden identisch sind?
Hallo,
eher im Gegenteil...
Ich kann jetzt nur mutmaßen, was Du mit 1.,2.,3. Ergebnis meinst.
Hast Du einen Punkt der ersten Gleichung in die zweite eingesetzt?
Das liefert Dir nämlich drei Gleichungen, welche alle gleichzeitig gelten müssen, wenn der Punkt auf der Geraden liegt. Sobald eine nicht stimmt, sind die Geraden parallel ohne Schnittpunkt.
Und wenn Du beim Gleichsetzen der Geraden statt Werten für die beiden Parameter Widersprüche erhältst, können sie keine gemeinsamen Punkte haben - vorausgesetzt Du hast richtig gerechnet. Denn Gleichungen wie 47=-12 sind durch nichts und niemanden zu erfüllen - jedenfalls nicht in den reellen Zahlen.
Gruß v. Angela
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ja, beim Gleichsetzten, so habe ich es gelernt, komme ich auf folgende Gleichungen:
-8 + 2s = -4 - 4t 1.
7 - 3s = 1 +6t 2.
13 + 4s = -5 - 8t 3.
..............................
daraus ergigt sich dann ...
>> aus der 1. (mit -2 multipliziert) und der 3. wird >>> 29 = 3
>> aus der 1. (mit 3 m.)und der 2.(mit 2 m.) wird >>> -10 = -10
>> aus der 2. (mit 4 m.)und der 3.(mit 3 m.) wird >>> 67 = -11
so geht das doch oder?
Die zwei Geraden sind somit ....identisch?
Müssten die "Ergebnisse", hier << 29 = 3, -10 =-10 bzw. 67 = -11 >> nicht alle im gleichen "Verhältnis" sein, damit die Geraden Parallel stehen?
Dies ist bzw. war die Frage und Entschuldige meine Schreibweise und Formulierung.
Bin mit den math. Ausdrücken noch nicht so vertraut. Würde aber gerne mehr lernen.
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> ja, beim Gleichsetzten, so habe ich es gelernt, komme ich
> auf folgende Gleichungen:
>
> -8 + 2s = -4 - 4t 1.
> 7 - 3s = 1 +6t 2.
> 13 + 4s = -5 - 8t 3.
> ..............................
> daraus ergigt sich dann ...
> >> aus der 1. (mit -2 multipliziert) und der 3. wird >>>
> 29 = 3
Hallo,
hier kannst Du bereits aufhören:
Ziel Deiner bemühungen ist es doch, s und t zu finden, welche die Gleichungen oben lösen.
Durch äquivalente Umformungen hast Du nun 29=3 erhalten. Mit keinem s und t der Welt wirst Du erreichen, daß diese Gleichung richtig wird (es kommt ja gar kein s und t mehr drin vor.)
Das Gleichungssystem oben hat also KEINE Lösung. Was bedeutet das? Es gibt keinen einzigen Punkt, an welchem die beiden Geraden gleich sind.
Generell für Geraden, deren Richtungsvektoren sich nur durch einen Faktor unterscheiden:
Es gibt hier nur zwei Möglichkeiten, die Geraden sind identisch oder parallel ohne gemeinsamen Punkt.
Letzteren Fall haben wir eben behandelt. Das GS ist nicht zu lösen.
In dem Fall, daß die Geraden gleich sind, haben wir ja nicht einen Schnittpunkt, sondern alle Punkte sind gemeinsame Punkte.
Wie wirkt sich das im GS aus? Nach aquivalenten Umformungen kommt man z.B. auf 0=0 und 27=27 und -1=-1. Das ist so richtig, daß es durch nichts versemmelt werden kann. Jedes s und t löst diese Gleichung (sie kommen ja gar nicht mehr vor)
Probier die Rechnung am es am besten einmal aus mit identischen Geraden, damit Du siehst wie es läuft, nimm z.B.
[mm] g_1: \vektor{x \\ y \\ z}= s\vektor{2 \\ -3 \\ 4}
[/mm]
[mm] g_2: \vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{\bruch{2}{3} \\ -1 \\ \bruch{4}{3}}+t\vektor{-4 \\ 6 \\ -8}
[/mm]
Noch einmal zu dem, was ich im ersten Post gesagt habe:
Man sieht sofort, daß die Richtung der beiden Geraden [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] gleich sind.
Also gibt es nur die Möglichkeiten: kein gemeinsamer Punkt oder alle Punkte sind gemeinsame Punkte.
D.h. wenn sie einen einzigen gemeinsamen Punkt haben, weißt Du, daß sie identisch sind.
Im Beispiel oben würde es reichen, wenn Du guckst, ob [mm] \vektor{\bruch{2}{3} \\ -1 \\ \bruch{4}{3}} [/mm] auch auf der Geraden [mm] g_1 [/mm] liegt, ob es also ein s gibt mit [mm] \vektor{\bruch{2}{3} \\ -1 \\ \bruch{4}{3}}=s\vektor{2 \\ -3 \\ 4}.
[/mm]
Auf diese Weise braucht man etwas weniger zu rechnen, denn man muß sich nur mit einer Variablen beschäftigen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Mi 03.01.2007 | | Autor: | GaryFisher |
Hallo Angela, vielen Dank für die Hilfe.
Nun ist es mir klar. Gary
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