Überprüfung Üb-Auf. zu Klausur < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Hallo,
schreibe morgen meine Lina- Klasur und habe gestern nocheinmal eine klausur zur Übung der letzten Jahre gerechnet. Bei einigen Aufgaben bin ich mir aber nicht ganz sicher und wollte überprüfen lassen, ob die soweit richtig sind - ansonsten würde ich ja die gleichen Fehler in der klausur machen. Außerdem komme ich bei der einen Aufgabe nicht so richtig Ahnung - könnte mir dazu bitte jemand mein Fragen erklären!!?? - Vielen Dank im voraus...
1.) Im [mm] IR^2 [/mm] seinen die Vektoren [mm] v1=\vektor{0 \\ 1}, [/mm] v2= [mm] \vektor{2 \\ 0}, v3=\vektor{1 \\ 2} [/mm] gegeben. Untesuchen Sie, ob eine lin. Abb. F: [mm] IR^2 [/mm] -> [mm] IR^2 [/mm] mit F(v1)=v2, F(v2)=v3 und F(v3)=v1 existiert.
LÖSUNG: Ich suchen Matrix A mit vier Einträgen, also kann ich ein LGS mit 4 Spalten(a,b,c,d) aufstellen, nämlich aus den Gleichungen:
01+1b=2
0c+1d=0
2a+0b=1
2c+0d=2
1a+sb=0
1c+2d=1
Die ersten kann man ablesen und sieht dann, dass die übrigen Gleichungen nicht erfüllt sind, also existiert keine.
So das wars ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vilen Dank im voaraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> schreibe morgen meine Lina- Klasur und habe gestern
> nocheinmal eine klausur zur Übung der letzten Jahre
> gerechnet. Bei einigen Aufgaben bin ich mir aber nicht ganz
> sicher und wollte überprüfen lassen, ob die soweit
> richtig sind - ansonsten würde ich ja die gleichen Fehler
> in der klausur machen. Außerdem komme ich bei der einen
> Aufgabe nicht so richtig Ahnung - könnte mir dazu bitte
> jemand mein Fragen erklären!!?? - Vielen Dank im
> voraus...
>
> 1.) Im [mm]IR^2[/mm] seinen die Vektoren [mm]v1=\vektor{0 \\ 1},[/mm] v2=
> [mm]\vektor{2 \\ 0}, v3=\vektor{1 \\ 2}[/mm] gegeben. Untesuchen
> Sie, ob eine lin. Abb. F: [mm]IR^2[/mm] -> [mm]IR^2[/mm] mit F(v1)=v2,
> F(v2)=v3 und F(v3)=v1 existiert.
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> LÖSUNG: Ich suchen Matrix A mit vier Einträgen, also kann
> ich ein LGS mit 4 Spalten(a,b,c,d) aufstellen, nämlich aus
> den Gleichungen:
>
> 01+1b=2
> 0c+1d=0
> 2a+0b=1
> 2c+0d=2
> 1a+sb=0
> 1c+2d=1
>
> Die ersten kann man ablesen und sieht dann, dass die
> übrigen Gleichungen nicht erfüllt sind, also existiert
> keine.
Hallo,
das ist ein bißchen umständlich.
Es geht schneller so:
[mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind eine Basis des [mm] \IR^2, [/mm] und [mm] v_3= 2v_1+0.5v_2.
[/mm]
Für eine lineare Abbilung muß also gelten: [mm] F(v_3)=2F(v_1)+0.5F(v_2).
[/mm]
Das rechne aus und vergleiche mit dem angegebenen Funktionswert für [mm] v_3.
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S.: Ich habe Deinen Thread in mehrere Teile zerlegt. Tu dies bitte in Zukunft von vornherein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Ok, dass klingt soweit natürlich logisch.
Aber noch einmal zum Verständnis:
Ich zeige also, die lin. Abh. der Vektoren und das jeder durch die anderen(oder eben) einene nVektor darstellbar ist und das ist der Bewesi dafür, dass eine lin. Abb. existeiret??!!
Denn die von dir augfgestellte Gleichung funktioniert natürlich, augfrund der tatsache, dass v1 und v2 bereits basis des [mm] IR^2 [/mm] sind und wir v3 somit als LK aus den anedern beiden darstellen können!!??
Vilen Danks für das ufteilen der frage - ist vermutlich wirklich so besser - vor allem übersichtlicher :)
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Hallo,
es ist so:
jede lineare Abbildung liegt eindeutig fest, sobald die Werte aus einer Basis angegeben sind.
Wenn [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] eine Basis sind und [mm] f(b_1):=c_1 [/mm] und [mm] f(b_2):=c_2, [/mm] dann kann es für [mm] b_3=:\lambda b_1 +\mu b_2 [/mm] keinen anderen Funktionswert geben als
[mm] f(b_3)=f(\lambda b_1 +\mu b_2)=\lambda f(b_1) [/mm] + [mm] \lambda f(b_2), [/mm] wenn die Funktion linear sein soll.
(Für größerdimensionale Räume entsprechend.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Ok - habe ich kapiert - macht Sinn - hier kann man sogar mal übver die Linearität begründen und muss sie nicht wie immer nur stumpf nachrechen. Danke.
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