Überprüfung von Behauptungen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Seien an und bn(jeweils von n=0 bis unendlich) Folgen komplexer Zahlen.Entscheiden Sie jeweils,ob die folgenden Behauptungen wahr oder falsch sind. Beweisen Sie ihre Aussagen.
1. Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0, [/mm] so konvergiert [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(a_{k})^{k} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | 2.Wenn [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{2n} [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(a_{2n+1}) [/mm] beide divergent sind, ist auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n} [/mm] divergent. |
| Aufgabe 3 | | 3.Wenn [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] bedingt konvergent, dann ist auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{2n} [/mm] bedingt konvergent. |
| Aufgabe 4 | | 4.Wenn für jedes [mm] \varepsilon>o [/mm] ein [mm] N_{\varepsilon} [/mm] existiert, so dass [mm] \parallel(a_{n+1})-a_{n}\parallel<\varepsilon [/mm] gilt für alle [mm] n>N_{\varepsilon},dann [/mm] konvergiert die [mm] Folge(a_{n})(von [/mm] n=0 bis unendlich) |
| Aufgabe 5 | | 5. Wenn und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b^{2}_{n} [/mm] absolut konvergieren,so konvergiert auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}b_{n}. [/mm] Hinweis [mm] :(x+/-y)^{2} [/mm] |
| Aufgabe 6 | | 6.Wenn [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a^{2}_{n} [/mm] absolut konvergent,dann konvergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} a_{n} [/mm] |
So, diese 6 Behauptungen sollen untersucht werden.Ich präsentier euch jetzt meine Ergebnisse:
1.wahr:Ich habe gezeigt, dass an eine streng monoton fallende Folge ist,dass heißt, am Ende kommt 0<1 heraus und das Quotientenkriterium ist ja im Prinzip das Gleiche, dass heißt, die Behauptung ist wahr.
2.nicht wahr,weil die Reihe [mm] (-1)^n [/mm] divergent ist. Hier wusste ich es nicht genau
3. nicht wahr, weil die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{2n} [/mm] nicht konvergent ist(aus Behauptung 2)
4.wahr, weil es eine Cauchyfolge ist
5.wahr, weil die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}b_{n} [/mm] absolut konvergent ist.
6.wahr, denke ich mir, habe noch keine Begründung
Meine Bitte:
Bitte prüfen, welche Aussagen wahr sind und welche falsch und ob meine Ansätze richtig sind. Hab meist das Problem, dass ich nicht genau weiß, weil man das aufschreiben soll
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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Achja, ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Entschuldigung, hab noch nicht herausgefunden, wie man Beiträge editieren kann.
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 04.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Fr 04.12.2009 | | Autor: | andreas |
hi
falls noch von interesse hier nur ein paar gedankenanstöße, da ich gleich weg muss:
> Seien an und bn(jeweils von n=0 bis unendlich) Folgen
> komplexer Zahlen.Entscheiden Sie jeweils,ob die folgenden
> Behauptungen wahr oder falsch sind. Beweisen Sie ihre
> Aussagen.
> 1. Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0,[/mm] so
> konvergiert [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(a_{k})^{k}[/mm]
> 2.Wenn [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{2n}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(a_{2n+1})[/mm] beide divergent sind, ist
> auch [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}[/mm] divergent.
> 3.Wenn [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] bedingt konvergent,
> dann ist auch [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{2n}[/mm] bedingt
> konvergent.
> 4.Wenn für jedes [mm]\varepsilon>o[/mm] ein [mm]N_{\varepsilon}[/mm]
> existiert, so dass
> [mm]\parallel(a_{n+1})-a_{n}\parallel<\varepsilon[/mm] gilt für
> alle [mm]n>N_{\varepsilon},dann[/mm] konvergiert die
> [mm]Folge(a_{n})(von[/mm] n=0 bis unendlich)
> 5. Wenn und [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b^{2}_{n}[/mm] absolut
> konvergieren,so konvergiert auch [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}b_{n}.[/mm]
> Hinweis [mm]:(x+/-y)^{2}[/mm]
> 6.Wenn [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a^{2}_{n}[/mm] absolut
> konvergent,dann konvergiert auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} a_{n}[/mm]
> So, diese 6
> Behauptungen sollen untersucht werden.Ich präsentier euch
> jetzt meine Ergebnisse:
> 1.wahr:Ich habe gezeigt, dass an eine streng monoton
> fallende Folge ist,dass heißt, am Ende kommt 0<1 heraus
> und das Quotientenkriterium ist ja im Prinzip das Gleiche,
> dass heißt, die Behauptung ist wahr.
>
> 2.nicht wahr,weil die Reihe [mm](-1)^n[/mm] divergent ist. Hier
> wusste ich es nicht genau
doch. betrachte [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{(-1)^n}{n}$
[/mm]
> 3. nicht wahr, weil die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{2n}[/mm]
> nicht konvergent ist(aus Behauptung 2)
probiere die zweite durch die erste abzuschätzen...
> 4.wahr, weil es eine Cauchyfolge ist
betrachte [mm] $a_n [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$
[/mm]
> 5.wahr, weil die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}b_{n}[/mm]
> absolut konvergent ist.
>
> 6.wahr, denke ich mir, habe noch keine Begründung
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