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Hallo alle miteinander!
Kann sich bitte mal einer meine Stammfunktionen anschaun und überprüfen, ob sie richtig sind?!
[mm] \integral_{-0,5}^{5} [/mm] {(2x+1) [mm] dx}=x^2+x [/mm] ...A=30,25FE
[mm] \integral_{-1}^{3} [/mm] {( [mm] \bruch{2}{x^2}-\bruch{3}{2x^3}dx}=2lnx^2-3ln2x^3 [/mm] ...A [mm] \approx7,57FE
[/mm]
[mm] \integral_{-2}^{0} [/mm] {( [mm] \bruch{1e^x}{3}-1) [/mm] dx}= [mm] \bruch{1e^x}{3}-x ...A\approx1,71FE
[/mm]
[mm] \integral_{-1}^{0} [/mm] {( [mm] \wurzel{1-3x}) [/mm] dx}= [mm] \bruch{2}{3}(1-3x)^{ \bruch{3}{2}}...A= \bruch{2}{3}FE
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{a} {(1-x^2) dx}=x- \bruch{1x^3}{3}
[/mm]
[mm] \integral_{-1}^{3} {(\bruch{kx}{2}+k^2) dx}=\bruch{kx^2}{4}+k^2x
[/mm]
Danke schonmal im Voraus! Eure sunflower
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:23 Do 17.03.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> [mm]\integral_{-0,5}^{5}{(2x+1) dx}=x^2+x[/mm] ...A=30,25FE
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\integral_{-1}^{3}{\bruch{2}{x^2}-\bruch{3}{2x^3}dx}=2 lnx^2-3ln2x^3[/mm]
>..A [mm]\approx 7,57FE [/mm]
Leider ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Schau dir die Funktion mal so an:
[mm]\integral_{-1}^{3}{\bruch{2}{x^2}-\bruch{3}{2x^3} dx} = \integral^{3}_{-1}{2 \cdot x^{-2} - 3 \cdot x^{-3}}dx [/mm]
und dann wende dieselbe Regel wie im Integral davor an. Die Logarithmus-Regel gilt nur für [mm]\bruch{1}{x}[/mm]: [mm]\integral_{a}^{b}\bruch{1}{x}dx=ln (b) - ln (a)[/mm]
> [mm]\integral_{-2}^{0}{\bruch{1e^x}{3}-1}dx = \bruch{1e^x}{3}-x[/mm]
>...A [mm] \approx1,71FE [/mm]
Der Wert des Integrals ist eigentlich negativ, da die Funktion unter der x-Achse liegt im relevanten Intervall. Du hast aber Recht, dass der Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse natürlich positiv wird.
> [mm]\integral_{-1}^{0}{\wurzel{1-3x}dx}= \bruch{2}{3}(1-3x)^{ \bruch{3}{2}}[/mm]
>...A=[mm]\bruch{2}{3}FE[/mm]
Die Stammfunktion stimmt. Allerdings bekomme ich einen Wert von [mm]\bruch{2}{3}-\bruch{16}{3}=-\bruch{14}{3}[/mm], also einen Flächeninhalt von [mm]\bruch{14}{3}[/mm].
> [mm]\integral_{1}^{a} {(1-x^2) dx}=x- \bruch{1x^3}{3}
[/mm]
Die Stammfunktion ist , aber vergiß nicht, die Grenzen 1 und a einzusetzen.
> [mm]\integral_{-1}^{3} {(\bruch{kx}{2}+k^2) dx}=\bruch{kx^2}{4}+k^2x
[/mm]
Auch hier ist die Stammfunktion in Ordnung, allerdings fehlen noch die Grenzen!
Ich hoffe, ich konnte dir helfen!
Viele Grüße
Astrid
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Hallo Astrid,
erstmal vielen lieben Dank für die schnelle Antwort! :)
$ [mm] \integral_{-1}^{0}{\wurzel{1-3x}dx}= \bruch{2}{3}(1-3x)^{ \bruch{3}{2}} [/mm] $
...A=$ [mm] \bruch{14}{3}FE [/mm] $ hab ich jetzt auch raus, hatte einen Rechenfehler drin!
Bei $ [mm] \integral_{-1}^{3}{\bruch{2}{x^2}-\bruch{3}{2x^3} dx} [/mm] = [mm] \integral^{3}_{-1}{2 \cdot x^{-2} - 3 \cdot x^{-3}}dx [/mm] $ komme ich jetzt auf:
[mm] -2x^{-1}+ (\bruch{3x}{2})^{-2} [/mm] ?!
Bei den letzten beiden muss ich noch k bzw. a errechenen! Der Flächeninhalt ist dabei gegeben!
$ [mm] \integral_{1}^{a} {(1-x^2) dx}=x- \bruch{1x^3}{3} [/mm] $ A= [mm] -\bruch{2}{3}
[/mm]
Eingesetzt komme ich auf: [mm] \bruch{8}{27}=a- \bruch{1}{3}a^3 [/mm]
Jetzt muss ich a durch Probieren finden, oder?
$ [mm] \integral_{-1}^{3} {(\bruch{kx}{2}+k^2) dx}=\bruch{kx^2}{4}+k^2x [/mm] $
A=-2
Eingestzt komme ich auf [mm] 0=4k^2+2k+2 [/mm] .... k= [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] Die Frage lautet für welche Zahlen [mm] k\in [/mm] R die Gleichung gilt!
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Hallo Astrid,
brauchst dich doch nicht zu entschuldigen!  Ich bin ja so froh, dass du mir dabei hilfst! Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ich hab das mit der Aufgabe, wo es um a geht, nochmal gerechnet und komme jetzt auf 3 Lösungen! (Das ist ziemlich merkwürdig!)
$ [mm] \integral_{1}^{a} {(1-x^2) dx}=\Big[ [/mm] x- [mm] \bruch{x^3}{3} \Big]_{1}^{a}= [/mm] a- [mm] \bruch{a^3}{3}-(1- \bruch{1^3}{3}) [/mm] $
A= [mm] -\bruch{2}{3}FE [/mm] (vorgegeben!)
[mm] -\bruch{2}{3}=a- \bruch{1}{3}a^3- \bruch{2}{3} [/mm] /+ [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
0=a- [mm] \bruch{1}{3}a^3
[/mm]
0=a(1- [mm] \bruch{1}{3}a^2 [/mm] .....a=0
0=1- [mm] \bruch{1}{3}a^2 [/mm] /+ [mm] \bruch{1}{3}a^2
[/mm]
1= [mm] \bruch{1}{3}a^2 [/mm] /: [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
a= + [mm] \wurzel{3}
[/mm]
a= - [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Gesucht ist diejenige positive reelle Zahl a für die der Flächeninhalt [mm] A=-\bruch{2}{3} [/mm] gilt, also a= + [mm] \wurzel{3}
[/mm]
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Hallo Loddar,
danke erstmal für deine Antwort! Du hast recht, eigentlich ist es klar, dass 3 Lösungen möglich sind und durch die Frage wird eigentlich auch deutlich, dass mehrere Lösungen existieren, wobei nur eine die gesuchte Lösung ist! Danke!!!!!!!!!
Viele Grüße sunflower
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$ [mm] \integral_{-1}^{3}{\bruch{2}{x^2}-\bruch{3}{2x^3} dx}\not [/mm] = [mm] \integral^{3}_{-1}{2 \cdot x^{-2} - 3 \cdot x^{-3}}dx [/mm] $
sondern:
[mm] \integral_{-1}^{3} {(2x^{-2}- (\bruch{3}{2})x^{-3} dx}=-2x^{-1}+3x^{-2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Do 17.03.2005 | | Autor: | Astrid |
> [mm]\integral_{-1}^{3}{\bruch{2}{x^2}-\bruch{3}{2x^3} dx}\not = \integral^{3}_{-1}{2 \cdot x^{-2} - 3 \cdot x^{-3}}dx[/mm]
>
>
> sondern:
> [mm]\integral_{-1}^{3} {(2x^{-2}- (\bruch{3}{2})x^{-3} dx}=-2x^{-1}+3x^{-2}
[/mm]
>
Entschuldige bitte, da habe ich die Zwei vergessen. 
Entsprechend ändert sich dann ja die Lösung des Integrals.
Viele Grüße
Astrid
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Hallöchen schon wieder,
$ [mm] \integral_{-1}^{3} {(2x^{-2}- (\bruch{3}{2})x^{-3} dx}=-2x^{-1}+3x^{-2} [/mm] $
Ich komme dann auf A=5 [mm] \bruch{1}{3}FE?!
[/mm]
Stimmt das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Do 17.03.2005 | | Autor: | TomJ |
[mm] \integral_{-1}^{0}{\wurzel{1-3x}dx}= \bruch{2}{9}(1-3x)^{ \bruch{3}{2}}=14/9
[/mm]
Die innere Ableitung der Wurzel muss kompensiert werden!
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Hallo Tom, danke dass du mir geantwortet hast!
Ich hab aber trotzdem mal ne Frage: Wie kommst du auf 14/9? Ist das der Flächeninhalt?
Liebe Grüße sunflower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
wenn du nun den Wert des Integrals berechnest, erhälst du diese Lösung:
[mm]\integral_{-1}^{0}{\wurzel{1-3x}dx}=\Big[-\bruch{2}{9}(1-3x)^{ \bruch{3}{2}}\Big]_{-1}^{0}=-\bruch{2}{9}(1-3 \cdot 0)^{ \bruch{3}{2}}-(-\bruch{2}{9}(1-3 \cdot (-1))^{\bruch{3}{2}}) =\bruch{14}{9}[/mm]
und damit ist der Flächeninhalt 14/9.
Da die innere Ableitung -3 ist, muss die Stammfunktion hier negativ sein. (Das hatten wir bisher auch übersehen...)
Ich hoffe, jetzt stimmt es...
Viele Grüße
Astrid
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Hallo Astrid,
sorry ich wollte eigentlich nur antworten und bin auf das falsche Kästchen gekommen, sodass deine Antwort als fehlerhaft markiert ist! Sorry! Ich hab nochmal ne Frage mit der Berechnung von k! Wenn ich bei der Lösungsformel auf nicht lösbar bei der Diskriminante komme, gibt es dann keine Lösung oder gilt das vor der Wurzel als Lösung, also die -1/4?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
das bedeutet, dass du keine Lösung der Gleichung hast (zumindest nicht in den reelen Zahlen - aber solange ihr keine komplexen Zahlen behandelt, kann dir das egal sein...).
Denn der gesamte Term ist durch das Minus unter der Wurzel nicht definiert.
Viele Grüße
Astrid
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Dankeschön!!!!!
Viele Grüße sunflower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Astrid |
...ich habe wohl gestern abend schon ein wenig geschlafen...
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Viele Grüße
Astrid
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Hallo Astrid,
ist doch ok! Es gibt Schlimmeres! Danke, dass du so lieb warst und mir geholfen hast! :)
Liebe Grüße sunflower
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![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
