Übertragung AA1 auf Untertopo. < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Gegeben sei eine Menge X mit 2 Topologien auf dieser; [mm] T_{1} [/mm] und [mm] T_{2},
[/mm]
und es gelte, dass [mm] T_{2} \subset T_{1}.
[/mm]
[mm] (X,T_{1}) [/mm] erfülle nun das erste Abzählbarkeitsaxiom; wird diese Eigenschaft dann auch auf [mm] (X,T_{2}) [/mm] übertragen?
Danke für alle Antworten!
Ich habe diese Frage in keinen weitern Foren gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo,
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> Gegeben sei eine Menge X mit 2 Topologien auf dieser; [mm]T_{1}[/mm]
> und [mm]T_{2},[/mm]
> und es gelte, dass [mm]T_{2} \subset T_{1}.[/mm]
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> [mm](X,T_{1})[/mm] erfülle nun das erste Abzählbarkeitsaxiom; wird
> diese Eigenschaft dann auch auf [mm](X,T_{2})[/mm] übertragen?
Ja was denkst du denn? Und wieso?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:35 Sa 24.01.2009 | | Autor: | GodspeedYou |
Also, nur der Klarheit wegen, es handelt sich hier nicht um eine Proseminaraufgabe, die ich von anderen gelöst haben wollte, sondern um eine Frage, die sich beim Lernen für Funktionalanalysis ergab, und die ich mir selbst nicht beantworten kann.
Ich vermute nun eher, dass die Aussage falsch ist, da zu einem x [mm] \in [/mm] X Umgebungen bezgl. [mm] T_{1} [/mm] nicht solche bezüglich [mm] T_{2} [/mm] sein müssen, und somit die Übetragung von AA1 scheitern könnte.
Die Überlegung ist ein wenig anti-intuitiv, in dem Sinne, dass eine feinere Topologie [mm] (T_{1}), [/mm] eine Eigenschaft erfüllt, die ein gewisses Maß an "Kleinheit" des topologischen Raumes garantiert, die nicht an eine gröbere Unteropologie, welche als Mengensystem eine "niedrigere Kardinaltiät" (intuitiv) als [mm] T_{1} [/mm] hat, weitergegeben wird.
Konkret kam das Problem bei der Konstruktion der schwachen Topologie auf einem normierten Raum zustande.
In der Vorlesung haben wir bislang die schwache Topologie (bzw. Konvergenz) bezüglich Folgen wie folgt definiert:
(X, [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel) [/mm] normierter Raum, X´ der topologische Dualraum
Sei [mm] (x_{n}) [/mm] Folge in X, und x [mm] \in [/mm] X
Dann heißt [mm] (x_{n}) [/mm] schwach konvergent gegen x, falls für alle f [mm] \in [/mm] X´
[mm] f(x_{n}) \to [/mm] f(x) (*)
Soweit ich weiss, wird die schwache Topologie zu einem normierten Raum aber auch als Initialtopologie bezüglich des Dualraumes (bezgl. aller f [mm] \in [/mm] X') konstruiert.
Da nun der Dualraum im Allgemeinen nicht abzählbar ist, kann man nun nicht unbedingt eine Übertragung des ersten Abzählbarkeitsaxioms (AA1) von der euklid. Topologie des Körpers auf den Raum X mit Initialtopologie folgern (was bei abzählbahrer Funktionenmenge geht)
Da aber die Normkonvergenz einer Folge in X die schwache Konvergenz dieser impliziert, ergibt sich aber, dass die schwache Topologie (verstanden wie in *) gefordert, also unter der Vorraussetzung, dass es eine solche Topologie gibt, die *) liefert) eine Teiltopologie von der Normtopologie ist.
(Also [mm] T_{2} \subset T_{1}, [/mm] wenn [mm] T_{2} [/mm] die schwache, und [mm] T_{1} [/mm] die Normtopologie bezeichnen)
Und so bin ich zu der Frage gekommen, ob AA1 "von der feinen auf die gröbere Topologie" übertragen wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Sa 24.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Also, nur der Klarheit wegen, es handelt sich hier nicht um
> eine Proseminaraufgabe, die ich von anderen gelöst haben
> wollte, sondern um eine Frage, die sich beim Lernen für
> Funktionalanalysis ergab, und die ich mir selbst nicht
> beantworten kann.
Das hat ja damit nichts zu tun ... aber ein Ansatz, eine Erläuterung, eine Erklärung, wo das Problem her kommt - das alles ist doch nicht zu viel verlangt, oder? Du machst ja gleich mit dem witer, was wir gefordert haben ...
> Ich vermute nun eher, dass die Aussage falsch ist, da zu
> einem x [mm]\in[/mm] X Umgebungen bezgl. [mm]T_{1}[/mm] nicht solche
> bezüglich [mm]T_{2}[/mm] sein müssen, und somit die Übetragung von
> AA1 scheitern könnte.
Genau, habe ich mir auch überlegt. Betrachte doch mal [m]T_1=P(x)[/m] (Potenzmenge). Also vererbt es sich nicht weiter.
[Funtionalanalysis-Teil]
Ich lass es mal auf nur teilweise beantwortet, weil vielleicht noch wer dazu mehr sagen könnte/möchte.
SEcki
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Ok, mir fällt jetzt leider kein Raum mit einer Topologie ein, die nicht das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
Aber falls [mm] (X,T_{2}) [/mm] ein solcher ist, und man [mm] T_{1} [/mm] = [mm] \mathcal{P} [/mm] (X) setzt, erhällt man nun, dass [mm] T_{2} \subset T_{1}
[/mm]
Da bezüglich der Potenzmengentopologie jeder Punkt offen ist, ist für jeden Punkt x [mm] \in [/mm] X, {x} eine Umgebungsbasis, und somit wird AA1 nicht übertragen.
Weiss jemand ein konkretes Beispiel für einen Raum, der nicht AA1 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 So 25.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Weiss jemand ein konkretes Beispiel für einen Raum, der nicht AA1 ist?
Topologien, welche von einer Metrik induziert sind, erfüllen immer das erste Abzählbarkeitsaxiom (die 1/n-Bälle sind eine abzählbare Umgebungsbasis).
Das heisst, du brauchst einen topologischen Raum, welcher nicht metrisierbar ist.
Das ist auch wohl der Grund, wieso du kein Beispiel gefunden hast.
Mir fallen spontan nur die ![[]](/images/popup.gif) schwachen Topologien auf normierten Vektorräumen ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 25.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Weiss jemand ein konkretes Beispiel für einen Raum, der
> nicht AA1 ist?
Noch ein andres Beispiel: [m]\{0,1\}^{(0,1)}[/m] mit der Produkttopologie (das wäre die kleinste Topologie, so dass jede Projektion auf ein [m]x\in (0,1)[/m] stetig ist).
SEcki
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