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Übung Abitur 2010: gebr.-rat. Funktion
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 19:40 Di 01.12.2009
Autor: informix

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion f durch $ f(x) = [mm] \bruch{x^4 - 17 x^2 + 16}{3 x^2} [/mm] $

1. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich, das Symmetrieverhalten, Nullstellen (mit Steigung in den Nullstellen) und Extrempunkte sowie die Näherungsfunktion a(x) für betragsmäßig große x.
Zeichnen Sie die Graphen von f und a in dasselbe Koordinatensystem über dem Intervall [-5;5].
Die 2. Ableitung der Funktion lautet: $ f''(x) = [mm] \bruch{2(x^4 + 48)}{3 x^4} [/mm] $  

2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse umschlossen wird.

3. Die Graphen von f und a umschließen zwischen der rechten Minimalstelle $ [mm] x_1 [/mm] $ von f und der größten Nullstelle $ [mm] x_0 [/mm] $ von f eine Fläche $ [mm] A_{1,0} [/mm] $.
Berechnen Sie diese Fläche.
Bestimmen Sie den prozentualen Anteil dieser Fläche an der ins Unendliche reichenden Fläche zwischen den beiden Graphen über dem Intervall $ [mm] [x_1;8[. [/mm] $

4. Betrachten Sie einen Punkt P(u;v) auf dem Graphen von f mit 1< u <4.
Die Parallele zur x-Achse durch P, die y-Achse und die Verbindungsstrecke von P zum tiefsten Punkt der Näherungsfunktion a(x) bilden ein Dreieck.
Weisen Sie nach, dass es unter diesen Dreiecken eines gibt, das den kleinsten Flächeninhalt besitzt.  

.

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