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Forum "Integralrechnung" - übungen zur Integration
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übungen zur Integration: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Mi 23.02.2005
Autor: declatereter

hallO!!

die oben gezeigten aufgaben bereiten mir kopfschmerzen!!

AUFGABE 8 da habe ich als ansatz (substitution) t=cosx.
dx/dt=sinx --> dx=dt*sinx
jedoch komme ich dann nicht weiter...


AUFGABE 6: x=cost, da substitution mit winkelfunktionen. dx/dt=-sint
dx=dt*(-sint)
dann integral (cos²t/1-cos²t)*(-sint)*dt
jedoch weiß ich nicht,wie ich dann die stammfunktion bilden soll....

AUFGABE  5: hier weiß ich nur, dass tanx - x herrauskommen muss, aber habe keinen ansatz

AUFGABE 7. hier weiß ich gar nicht was zu tun ist...

für lösungsansätze und/oder lösungen zum nachvollziehen wäre ich sehr dankbar!!

mfg

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
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übungen zur Integration: Aufgabe 7
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Mi 23.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Christoph!


Aufgabe 7

Erweitere doch einmal den Bruch mit 2 und sieh' Dir dann mal den Ausdruck unter der Wurzel und den Zähler genauer an.

Fällt Dir was auf?


Loddar


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übungen zur Integration: noch nich klar?!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Mi 23.02.2005
Autor: declatereter

ja und was nützt mir das dann?! ich kann doch nicht die wurzel ziehn... oder was ist gemeint??

Bezug
                        
Bezug
übungen zur Integration: Substitution!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Mi 23.02.2005
Autor: Loddar


> ja und was nützt mir das dann?! ich kann doch nicht die
> wurzel ziehn... oder was ist gemeint??

Aber Du hast doch dann im Zähler exakt die Ableitung des Ausdruckes unter der Wurzel.

Tipp: Substitution mit $t \ := \ [mm] 2x^3 [/mm] - 4x + 2$


Loddar


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übungen zur Integration: Aufgabe 8
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Mi 23.02.2005
Autor: Loddar

Aufgabe 8

> da habe ich als ansatz (substitution) t=cosx.
> dx/dt=sinx --> dx=dt*sinx
> jedoch komme ich dann nicht weiter...

Das sieht ja schon fast gut aus ...


Aber ...

aus    [mm] $\bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \sin(x)$ [/mm]    wird     $dx = [mm] \red{-} [/mm]  \ [mm] \bruch{dt}{\sin(x)}$ [/mm]

Schreib' das nun mal alles zusammen auf!
Und schon kürzt sich etwas weg ...


Loddar


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übungen zur Integration: dumme frage!:)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Mi 23.02.2005
Autor: declatereter

vielen dank. aufgabe 8 habe ich nun gelöst.

aber eine dumme frage: wann schreibt man dx/dt und wann dt/dx???

mfg

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übungen zur Integration: (K)eine dumme Antwort ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Mi 23.02.2005
Autor: Loddar


> vielen dank. aufgabe 8 habe ich nun gelöst.

[daumenhoch]

Wie lautet denn Dein Ergebnis?



> aber eine dumme frage: wann schreibt man dx/dt und wann
> dt/dx???

Vorneweg - es gibt keine dummen Fragen!


[aufgemerkt] Die Variable, nach der Du ableitest, steht im Nenner !!

Beispiel:

$t \ = \ t(x)$
[mm] $\blue{t}'(\red{x} [/mm] ) \ = \ [mm] \bruch{d\blue{t}}{d\red{x}} [/mm] \ = \ ...$


Klar?


Loddar


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übungen zur Integration: antwort
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Mi 23.02.2005
Autor: declatereter

bei 8. habe ich 0 herraus!!

aber eine frage zu 7.  habe das jetzt auch gesehn und letztlich bleibt bei mir 1/ [mm] \wurzel{t}*2 [/mm]  dt  übrig.. ist das falsch?? denn wenn ich damit die stammfunktion bilde, kommt [mm] t^3/2 [/mm] herraus.
aber müsste nicht nur t herrauskommen??

mfg

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übungen zur Integration: Umformen ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Mi 23.02.2005
Autor: Loddar


> aber eine frage zu 7.
> habe das jetzt auch gesehn und
> letztlich bleibt bei mir 1/ [mm]\wurzel{t}*2[/mm]  dt  übrig...

[daumenhoch] Stimmt ...

Schreibe doch einfach mal um:
[mm] $\bruch{1}{2*\wurzel{t}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] t^{-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] t^{-0,5}$ [/mm]

Das kannst Du doch nun ziemlich einfach mit der MBPotenzregel integrieren ...


> kommt [mm]t^3/2[/mm] herraus.
> aber müsste nicht nur t herrauskommen??

[notok] Siehe oben ...



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übungen zur Integration: einfachere Überlegung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Mi 23.02.2005
Autor: leduart

Hallo christoph
Einige einfache Regeln beim Integrieren führen oft schneller zum Ziel.
Du weisst sicher : [mm](\wurzel{f(x)})' = \bruch{1}{2}*\bruch{f'(x)}{\wurzel{f(x)}}[/mm]
Wenn du also ein Integral triffst, das eine Wurzel im Nenner hat, überprüfst du zuerst ob im Zähler die Ableitung des Radikanten steht (oder bis auf einen konstanten  Faktor) und dann bist du schon fertig:
[mm]\integral {\bruch{a*f'(x)}{\wurzel{f(x)}}dx} =2*a*\integral{{\bruch{1}{2}*\bruch{f'(x)}{\wurzel{f(x)}}=2*a*\wurzel{f(x)}[/mm]
Und ich find das geht immer schneller als substituieren.
Entsprechend gibt es die Regel für (ln(f(x))' und das Integral  von  [mm] $\bruch{f'}{f}$ [/mm]
Gruss leduart

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übungen zur Integration: Ergebnis von Aufg. (8)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:15 Do 24.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Christoph!


Übrigens ...

> bei 8. habe ich 0 herraus!!

[daumenhoch] Stimmt!


Ich hatte nur gedacht, Du schreibst hier auch noch die entsprechende Stammfunktion (zur Kontrolle) ... *achselzuck*


Loddar


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übungen zur Integration: aufgabe 5,6 auch hilfe möglich
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Mi 23.02.2005
Autor: declatereter

kann mir jemand noch lösungsansätze zu den aufgaben 5 oder 6geben???


mfg

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übungen zur Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Mi 23.02.2005
Autor: oliver.schmidt

mach ich mal Aufgabe 5:

[mm] tan^2(x)= \bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}=\bruch{1-cos^2(x)}{cos^2(x)} [/mm]

reicht das als Hile?

Gruß
Oliver

Aufgabe 6 hab ich grad erst gesehen, mal gucken ob mir was einfällt

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übungen zur Integration: noch nich 100% klar?!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:20 Do 24.02.2005
Autor: declatereter

das hatte ich mir auch schon überlegt mit dem trigonometrischem pythagoras.... aber so ganz hat es noch nich "klick" gemacht"!:)

mfg

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übungen zur Integration: Weitere Schritte ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:02 Do 24.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Christoph!


Na, dann gehen wir doch noch einige Schritte ...


Wir haben ja (siehe auch Antwort von Oliver):

[mm] $\tan^2(x) [/mm] \ [mm] \underbrace{= }_{(\star)} [/mm] \ [mm] \bruch{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm]  \ [mm] \underbrace{=}_{(\star \star)} [/mm] \ [mm] \bruch{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\cos^2(x)} [/mm] - [mm] \bruch{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \  [mm] \bruch{1}{\cos^2(x)} [/mm] - 1$


[mm] $(\star)$ [/mm]     Defintion der tan-Funktion:   [mm] $\tan(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos(x)}$ [/mm]

[mm] $(\star \star)$ [/mm]    trigonometrischer Pythagoras:   [mm] $\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$
[mm] $\Rightarrow$ $\sin^2(x) [/mm] \ = \ 1 - [mm] \cos^2(x)$ [/mm]



Wenn wir uns nun den Ausdruck [mm] $\bruch{1}{\cos^2(x)}$ [/mm] mal näher betrachten, fällt uns (vielleicht?) auf, daß dies' genau der Ableitung der tan-Funktion entspricht:

[mm] $\left[ \ \tan(x) \ \right]' [/mm] \ [mm] \underbrace{=}_{(\star)} [/mm] \ [mm] \left[ \ \bruch{\sin(x)}{\cos(x)} \ \right]' [/mm] \ [mm] \underbrace{=}_{Quotientenregel} [/mm] \ [mm] \bruch{\cos(x)*\cos(x) - \sin(x)*[-\sin(x)]}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos^2(x) \red{+} \sin^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ [mm] \underbrace{=}_{(\star \star)} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{\cos^2(x)}$ [/mm]



Für unser Integral gilt also:

[mm] $\integral_{}^{} {\tan^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{\cos^2(x)} \ dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {1 \ dx} \ = \  ...$
Daraus folgt ja schon direkt Deine o.g. Lösung!


Nun alles etwas klarer?


Gruß
Loddar


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übungen zur Integration: anderer ansatz für aufgabe 6
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Do 24.02.2005
Autor: declatereter

ich habe nun den ansatz mit winkelfunktionen substituieren!! also x=r*cost und dann fällt r weg, da 1  

und dann weiter dx/dt=-sint --> dx=-sint*dt

müsste doch auch richtig sein!! jedoch habe ich dann irgendwo einen rechenfehler würde ich sagen... als ergebnis muss pi/4 ( grenzen eingesetzt) herrauskommen?! bitte um hilfe nach dem ansatz...

mfg

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übungen zur Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:36 Do 24.02.2005
Autor: oliver.schmidt

das scheint mir auf den ersten Blick die richtige Idee zu sein, beschäftige mich heut Abend mal damit , weil ich weg muss [mussweg], sorry

Gruß
OLIVER

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übungen zur Integration: geht doch nicht trigonometrisc
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Do 24.02.2005
Autor: oliver.schmidt

ne sorry, auch nach längerem überlegen scheitern trigonometrische Ansätze. Deinen Ansatz kann ich nicht nachvollziehen, kannst du nochmal posten, was du da genau substituiert hast.

Merkwürdig ist , dass der Logarithmus in der lösung bei deinen angegebenen Grenzen nicht definiert ist.

Gruß
Oliver

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übungen zur Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Mi 23.02.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo declatereter,


Aufgabe 6:


Hier steht die Lösung: []http://www.calc101.com/german/partial_2d.html.



Viele Grüße
Karl



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übungen zur Integration: auch anders zu lösen??
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:21 Do 24.02.2005
Autor: declatereter

kann ich das auch ohne log lösen?? durch substitution oder partielle integration?
wir hatten das mit log noch nich so ausführlich...
mfg

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übungen zur Integration: Sehe keinen anderen Weg ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Do 24.02.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Christoph!


Also ich sehe hier keinen anderen Weg als den von Karl_Pech angegebenen.

Du mußt hier "lediglich" wissen, daß die Stammfunktion von $y \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] der natürliche Logarithmus [mm] $\ln(x)$ [/mm] ist:

[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{1}{x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln(x) [/mm] \ + \ C$


Hinweis:
Mit der Bezeichnung "log" in der genannten Lösung ist der natürliche Logarithmus [mm] $\ln(x)$ [/mm] gemeint!


Gruß
Loddar


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