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Hallo zusammen,
in Aufgabe eins geht es um die Darstellung einer Tranformationsmatrix von einer Ausgangsbasis in einer Zielbasis. Ich kann die ja einfach durch "Knobeln" bestimmen, indem ich die Bilder der Basisvektoren berechne und die Ergebnisse dann aus der neuen Basis "bastel". Aber geht das auch irgendwie durch Matrizenmultiplikation o.ä.? Die Abbildung ist im [mm] \produkt_{i=1}^{2} [/mm] def.: T(p(x)) = p(x+1) - p(x)
Basis G: 1, x, x²
Basis H: x², x(1-x), (1-x)²
Kommt man eben auf T(g1) = T(g2) = 1 und T(g3) = 2x+1
Wie kann man Inverse außer durch die Austauschmethode bestimmen. Wir haben sonst eigentlich keine Sätze und noch keine Determinanten eingeführt.
Aufgabe 3: P lineare Abb. mit P²=P, Q ebenfalls und def. durch Q:= I - P
a) Wann gilt Q [mm] \in [/mm] GL (allg. lineare Gruppe) ist?
b) Zeigen Sie S := Q-P [mm] \in [/mm] GL
Soll ich da wohl zeigen, dass Q bzw. S bijektiv sind, durch die Existenz einer inversen Abb.?
Gruß
Marcel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Morgen!
Also, zur ersten Aufgabe: ja, man sollte da "basteln", nach dem von Dir beschriebenen Verfahren. Leider werde ich aus Deinen Angaben nicht ganz schlau... schließlich ist $T(1) = 0$, da $1(x+1) - 1(x) = 1 - 1 = 0$.
Aber [mm] $T(g_2) [/mm] = 1$ stimmt und [mm] $T(g_3) [/mm] = 2x + 1$ auch.
Ich kenne die "Austauschmethode" nicht, aber vermutlich meinst Du die Umformung einer Matrix durch elementare Zeilenumformungen (man schreibt die zu invertierende Matrix neben die Einheitsmatrix und führt simultan Zeilenumformungen durch, bis die Einheitsmatrix links steht).
Das ist meiner Ansicht nach die beste Methode, um die Inverse einer konkreten Matrix direkt zu bestimmen, aber es gibt mit Sicherheit einen Haufen anderer Verfahren.
Zur 3. Aufgabe: Falls $P = 0$ die Nullabbildung ist, dann folgt $Q = I$ und die ist invertierbar.
Was ist, wenn es ein $v [mm] \in [/mm] V$ gibt mit $P(v) [mm] \not= [/mm] 0$? Sei $w := P(v)$, dann gilt: $P(w) = [mm] P\big(P(v)\big) [/mm] = [mm] P^2(v) [/mm] = P(v) = w$.
Also folgt: $Q(w) = w - P(w) = w - w = 0$. Da $w [mm] \not= [/mm] 0$ folgt, dass $Q$ nicht injektiv ist, also nicht invertierbar.
In Teil b) habe ich keinen elementaren Beweis gesehen... man kann aber benutzen, dass jede Abbildung $P$ mit [mm] $P^2 [/mm] = P$ den Vektorraum zerlegt: es gibt Unterräume [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] mit $V = [mm] U_1 \oplus U_2$ [/mm] und [mm] $P|_{U_1} [/mm] = [mm] id_{U_1}$ [/mm] sowie [mm] $P|_{U_2} [/mm] = 0$.
Man sieht sofort, dass dann [mm] $S|_{U_1} [/mm] = - [mm] id_{U_1}$ [/mm] und [mm] $S|_{U_2} [/mm] = [mm] id_{U_2}$ [/mm] und daher ist $S$ invertierbar.
Sollte die zu benutzende Aussage in der Vorlesung noch nicht dran gewesen sein, dann versuch sie selbst zu beweisen - ist nicht so schwer.  Tipp: [mm] $U_1$ [/mm] ist das Bild von $P$ und [mm] $U_2$ [/mm] der Kern.
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Mo 02.05.2005 | | Autor: | SOCMarcel |
Hallo,
erst mal herzlichen Dank.
Ich vertu mich da bei den Polynomen immer, keine Ahnung warum. ;-(
Deine vorgestellte Methode kenne ich zwar noch nicht, aber vielleicht leuchtet sie mir ja noch ein.
Lasse mich mal von der Musterlösung überraschen.
Gruß
Marcel
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