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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Do 13.11.2008 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe 1 | Prüfen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren:
A:Summe von k=1 bis unendlich (k / [mm] (k^2 [/mm] + 4))
B: Summe von n=1 bis unendlich (an) wobei für gerade n --> 3 ^(-n), Und für ungerade n --> 5 ^(-n)
C: Summe von k=1 bis unendlich ((k+1) / [mm] (k^3 [/mm] + 1)) |
| Aufgabe 2 | Prüfen Sie, ob es für die folgenden Reihen eine Umordnung gibt, die gegen + unendlich divergiert. Falls ja geben sie solch eine Umordnung an.
A: Summe von k=1 bis unendlich [mm] ((-1)^k) [/mm] * (1 / [mm] k^2) [/mm]
B: Summe von k=0 bis unendlich [mm] ((-1)^k) [/mm] * (1 / (2k +1)) |
| Aufgabe 3 | Bestimmen Sie mittels geometrischer Reihe und Exponentialreihe die folgenden Grenzwerte:
A: Summe von k=1 bis unendlich (3^(-2k))
B: Summe von k=0 bis unendlich ((7 + [mm] 5^k) [/mm] / (k!))
C: Summe von k=0 bis unendlich [mm] ((-1)^k) [/mm] * (2^(3*k) / ((k +1)!) ) |
Hallöchen,
Kann mir mal jemand weiterhelfen bitte.Hab hier ein paar Aufgaben, die ich zu lösen habe und ich muss mich langsam mit meinen Punkten ranhalten. Die Aufgaben sind teilweise auch gelöst, komme aber irgendwie gar nicht weiter. Ist jemand so nett und hilft mir mal bitte bzw schaut sich das jemand mal bitte an.
Lösungsansatz:
Aufgabe 1:
Zu A: Quotientenkriterium: (k+1) / [mm] (k^2 [/mm] + 2k + 5) * [mm] (k^2 [/mm] + 4) / k = [mm] (k^3 [/mm] + [mm] k^2 [/mm] + 4k + 4) / [mm] (k^3 [/mm] + [mm] 2k^2 [/mm] + 5k) < 1 Die Reihe konvergiert.
Zu B:
Zu C: Quotientenkriterium: (k+2) / [mm] (k^3+3k^2 [/mm] + 3k + 2) * [mm] (k^3+1) [/mm] / (k+1) = [mm] (k^4 [/mm] + [mm] 2k^3 [/mm] + k + 2) / [mm] (k^4 [/mm] + [mm] 4k^3 [/mm] + [mm] 6k^2 [/mm] + 5k + 2) < 1
Die Reihe konvergiert
Aufgabe 2:
Zu A:Leibnizkriterium trifft zu, Quotientenkriterium:
[mm] (1/(k^2+2k+1)) [/mm] * [mm] (k^2) [/mm] = [mm] k^2 [/mm] / [mm] (k^2+2k [/mm] + 1) < 1 --> die Reihe ist absolut konvergent, d.h. Umordnung mgl.
Zu B: Leibnizkriterium trifft zu, Quotientenkriterium:
(1/(2k+3)) * (2k+1) = 2k+1 / (2k+3) < 1 --> die Reihe ist absolut konvergent, d.h. Umordnung mgl.
Aufgabe 3:
Zu A:
1 / [mm] (3^k [/mm] * [mm] 3^k) [/mm] =
Zu B:
7 / k! + [mm] 5^k [/mm] / k! =
Zu C:
[mm] (-1)^k ((2^k [/mm] * [mm] 2^k [/mm] * [mm] 2^k)/ [/mm] k! * (k+1)) = [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] 2^k [/mm] * [mm] 2^k [/mm] * [mm] (2^k [/mm] / k!) * 1/k+1 =
Dankeschön schon mal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Do 13.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Aufgabe 1:
> Prüfen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren:
> A:Summe von k=1 bis unendlich (k / [mm](k^2[/mm] + 4))
> B: Summe von n=1 bis unendlich (an) wobei für gerade n
> --> 3 ^(-n), Und für ungerade n --> 5 ^(-n)
> C: Summe von k=1 bis unendlich ((k+1) / [mm](k^3[/mm] + 1))
>
> Aufgabe 2:
> Prüfen Sie, ob es für die folgenden Reihen eine Umordnung
> gibt, die gegen + unendlich divergiert. Falls ja geben sie
> solch eine Umordnung an.
> A: Summe von k=1 bis unendlich [mm]((-1)^k)[/mm] * (1 / [mm]k^2)[/mm]
> B: Summe von k=0 bis unendlich [mm]((-1)^k)[/mm] * (1 / (2k +1))
>
> Aufgabe 3:
> Bestimmen Sie mittels geometrischer Reihe und
> Exponentialreihe die folgenden Grenzwerte:
> A: Summe von k=1 bis unendlich (3^(-2k))
> B: Summe von k=0 bis unendlich ((7 + [mm]5^k)[/mm] / (k!))
> C: Summe von k=0 bis unendlich [mm]((-1)^k)[/mm] * (2^(3*k) /
> ((k +1)!) )
> Hallöchen,
> Kann mir mal jemand weiterhelfen bitte.Hab hier ein paar
> Aufgaben, die ich zu lösen habe und ich muss mich langsam
> mit meinen Punkten ranhalten. Die Aufgaben sind teilweise
> auch gelöst, komme aber irgendwie gar nicht weiter. Ist
> jemand so nett und hilft mir mal bitte bzw schaut sich das
> jemand mal bitte an.
>
>
> Lösungsansatz:
> Aufgabe 1:
> Zu A: Quotientenkriterium: (k+1) / [mm](k^2[/mm] + 2k + 5) *
> [mm](k^2[/mm] + 4) / k = [mm](k^3[/mm] + [mm]k^2[/mm] + 4k + 4) / [mm](k^3[/mm] + [mm]2k^2[/mm] + 5k)
> < 1 Die Reihe konvergiert.
Falsch. Es reicht nicht zu zeigen, dass der Quotient kleiner als 1 ist. Er muss kleiner sein ALS EINE ZAHL, DIE KLEINER ALS 1 ist.
Die Reihe 1/n divergiert bekanntlich. Dann divergiert auch 1/(n+1) (gleiche Reihe, nur 1 Summand weniger).
1/(n+1) lässt sich schreiben als [mm] n/(n^2+n), [/mm] und das ist ab n=4 kleiner als [mm] n/(n^2+4). [/mm] Anders herum: Die Summanden der Reihe [mm] n/(n^2+4) [/mm] sind ab n=4 größer als die Summanden einer divergenten Reihe.
Gruß Abakus
> Zu B:
> Zu C: Quotientenkriterium: (k+2) / [mm](k^3+3k^2[/mm] + 3k + 2)
> * [mm](k^3+1)[/mm] / (k+1) = [mm](k^4[/mm] + [mm]2k^3[/mm] + k + 2) / [mm](k^4[/mm] +
> [mm]4k^3[/mm] + [mm]6k^2[/mm] + 5k + 2) < 1
> Die Reihe konvergiert
>
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> Aufgabe 2:
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> Zu A:Leibnizkriterium trifft zu, Quotientenkriterium:
> [mm](1/(k^2+2k+1))[/mm] * [mm](k^2)[/mm] = [mm]k^2[/mm] / [mm](k^2+2k[/mm] + 1) < 1 --> die
> Reihe ist absolut konvergent, d.h. Umordnung mgl.
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> Zu B: Leibnizkriterium trifft zu, Quotientenkriterium:
> (1/(2k+3)) * (2k+1) = 2k+1 / (2k+3) < 1 --> die Reihe
> ist absolut konvergent, d.h. Umordnung mgl.
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> Aufgabe 3:
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> Zu A:
> 1 / [mm](3^k[/mm] * [mm]3^k)[/mm] =
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> Zu B:
> 7 / k! + [mm]5^k[/mm] / k! =
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> Zu C:
> [mm](-1)^k ((2^k[/mm] * [mm]2^k[/mm] * [mm]2^k)/[/mm] k! * (k+1)) = [mm](-1)^k[/mm]
> * [mm]2^k[/mm] * [mm]2^k[/mm] * [mm](2^k[/mm] / k!) * 1/k+1 =
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> Dankeschön schon mal im voraus.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:13 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Ultio |
Und wie mach ich das denn dabei? In unserer Übung haben wir gesagt, dass es echt kleiner ist und dann absolute Konvergenz daraus geschlossen. DAnke, dass du dich zu sowas simplen meldest.
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