Übungsserie 2, Aufgabe 1 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | II-1: Seien [mm] a,b\in \IR, n\in \IN [/mm] . Zeigen Sie die allgemeine binomische Formel:
[mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k} b^{k} [/mm] |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" in diesem Forum. Sie kann von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden ! (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch !)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Kimmel |
Ich habe mit
[mm]\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}b^k = (a+b)^n[/mm]
und nicht mit dem, was in der Aufgabe steht, weil ich meine, dass das nicht richtig ist.
IA:
n = 1
[mm](a+b)^1 = \vektor{1 \\ 0} a^1 b^0 + \vektor{1 \\ 1} a^0 b^1 = a+b[/mm]
IV:
Die Behauptung gelte für ein [mm]n \in \IN[/mm].
IS:
[mm]\sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} a^{n+1-k}b^k [/mm]
[mm]= \sum_{k=0}^{n} \vektor{n+1 \\ k} a^{n+1-k}b^k + \vektor{n+1 \\ n+1}a^0b^{n+1}[/mm]
[mm]= \vektor{n+1 \\ 0}a^{n+1}b^0 + \sum_{k=1}^{n} \vektor{n+1 \\ k} a^{n+1-k}b^k + \vektor{n+1 \\ n+1}a^0b^{n+1}[/mm]
[mm]= \vektor{n+1 \\ 0}a^{n+1}b^0 +
\sum_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k-1} a^{n+1-k}b^k +
\sum_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n+1-k}b^k + \vektor{n+1 \\ n+1}a^0b^{n+1}[/mm]
[mm]= \vektor{n \\ 0}a^{n+1}b^0 +
\sum_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k-1} a^{n+1-k}b^k +
\sum_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n+1-k}b^k + \vektor{n \\ n}a^0b^{n+1}[/mm]
[mm]=
\sum_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k-1} a^{n+1-k}b^k +
\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n+1-k}b^k + \vektor{n \\ n}a^0b^{n+1}[/mm]
[mm]=
\sum_{k=0}^{n-1} \vektor{n \\ k} a^{n-k}b^{k+1} +
a\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}b^k + \vektor{n \\ n}a^0b^{n+1}[/mm]
[mm]=
a(a+b)^n +
\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}b^{k+1}
[/mm]
[mm]=
a(a+b)^n +
b\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}b^{k}
[/mm]
[mm]=
a(a+b)^n +
b(a+b)^n
[/mm]
[mm]=
(a+b)(a+b)^n
[/mm]
[mm]=
(a+b)^{n+1}
[/mm]
Puh, ich hoffe, dass ist richtig...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Do 23.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe mit
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}b^k = (a+b)^n[/mm]
>
> und nicht mit dem, was in der Aufgabe steht, weil ich
> meine, dass das nicht richtig ist.
ja, da stimmt der Laufindex nicht und sowas... passiert den Leuten halt schnell, wenn man quasi nur das Summensymbol per Formeleditor schnell benutzen will.
> IA:
>
> n = 1
Entweder startest Du mit [mm] $n=0\,,$ [/mm] oder Du prüfst nochmal separat, dass die Aussage auch für [mm] $n=0\,$ [/mm] gilt. Bei Deinem Induktionsbeweis zeigst Du die Behauptung "nur" für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 1$!!
> [mm](a+b)^1 = \vektor{1 \\ 0} a^1 b^0 + \vektor{1 \\ 1} a^0 b^1 = a+b[/mm]
>
> IV:
>
> Die Behauptung gelte für ein [mm]n \in \IN[/mm].
>
> IS:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} a^{n+1-k}b^k[/mm]
>
> [mm]= \sum_{k=0}^{n} \vektor{n+1 \\ k} a^{n+1-k}b^k + \vektor{n+1 \\ n+1}a^0b^{n+1}[/mm]
>
>
> [mm]= \vektor{n+1 \\ 0}a^{n+1}b^0 + \sum_{k=1}^{n} \vektor{n+1 \\ k} a^{n+1-k}b^k + \vektor{n+1 \\ n+1}a^0b^{n+1}[/mm]
>
>
> [mm]= \vektor{n+1 \\ 0}a^{n+1}b^0 +
\sum_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k-1} a^{n+1-k}b^k +
\sum_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n+1-k}b^k + \vektor{n+1 \\ n+1}a^0b^{n+1}[/mm]
Kommentar: Hier hast Du ein Wissen (aus dem Pascalschen Dreieck etwa bekannt!) benutzt:
$${n+1 [mm] \choose [/mm] k}={n [mm] \choose [/mm] k}+{n [mm] \choose [/mm] k-1}$$
Sowas sollte erwähnt werden! Dass ${n [mm] \choose [/mm] 0}=1$ ist etc., das kann man, muss man nicht unbedingt erwähnen (in den ersten Semestern ist es aber durchaus angebracht)!
> [mm]= \vektor{n \\ 0}a^{n+1}b^0 +
\sum_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k-1} a^{n+1-k}b^k +
\sum_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n+1-k}b^k + \vektor{n \\ n}a^0b^{n+1}[/mm]
>
>
> [mm]=
\sum_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k-1} a^{n+1-k}b^k +
\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n+1-k}b^k + \vektor{n \\ n}a^0b^{n+1}[/mm]
>
> [mm]=
\sum_{k=0}^{n-1} \vektor{n \\ k} a^{n-k}b^{k+1} +
a\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}b^k + \vektor{n \\ n}a^0b^{n+1}[/mm]
>
> [mm]=
a(a+b)^n +
\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}b^{k+1}
[/mm]
>
> [mm]=
a(a+b)^n +
b\sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k}b^{k}
[/mm]
>
> [mm]=
a(a+b)^n +
b(a+b)^n
[/mm]
>
>
> [mm]=
(a+b)(a+b)^n
[/mm]
>
> [mm]=
(a+b)^{n+1}
[/mm]
>
> Puh, ich hoffe, dass ist richtig...
Ich hab's nun ein wenig "sporadisch" zu Ende kontrolliert, aber ich denke, dass das so passt.
Nebenbei: Die Formel kann man (relativ einfach) kombinatorisch begründen. Und was man auch oft macht:
Man sagt:
[mm] $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}a^{n-k}b^k$$
[/mm]
ist für den Fall [mm] $a=b=0\,$ [/mm] natürlich trivial (mit der Konvention [mm] $0^0=1$). [/mm] Interessant ist also nur die Untersuchung, wenn $a [mm] \not=0$ [/mm] oder $b [mm] \not=0\,.$ [/mm] O.E. kann man also $a [mm] \not=0$ [/mm] annehmen (andernfalls vertausche man die Rollen von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$).
[/mm]
Dann kann man
[mm] $$(a+b)^n=a^n*(1+x)^n$$
[/mm]
mit $x:=b/a$ schreiben, und die Aufgabe ist dann bewiesen, wenn man
[mm] $$(\star)\;\;\;(1+x)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}x^k$$
[/mm]
bewiesen hat - denn das ist dann äquivalent zur Aufgabenstellung. Aber im Prinzip ändert das nichts am Beweis: Man braucht auch dann, wenn man ihn induktiv führt, dieses Wissen aus dem Pascalschen Dreieck (siehe blaue Bemerkung oben) - allerdings behält man beim Beweis für [mm] $(\star)$ [/mm] ein wenig besser den Überblick, wie ich finde!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 Do 23.02.2012 | | Autor: | Kimmel |
Okay, stimmt.
Ich hätte das hinschreiben sollen
(Bei uns wird dieses Wissen vorausgesetzt...)
Und danke für deine Korrektur und für den teilweise anderen Weg den Beweis zu führen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:09 Do 23.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, stimmt.
> Ich hätte das hinschreiben sollen
> (Bei uns wird dieses Wissen vorausgesetzt...)
natürlich - denn man darf immer das verwenden, was bereits bewiesen worden ist. Man sollte aber Beweise immer so notieren, dass man sich hinterher nicht nochmal alles zusammensuchen muss. (Wenn Du gerade etwa ein Thema vertieft hast, weil Du Dich intensiv damit beschäftigst, so siehst Du meistens alles direkt, was Du da gemacht hast, auch, wenn Du es nicht nochmal explizit hinschreibst. Aber wenn Du in ein paar Jahren nochmal draufguckst, und aus dem Thema raus bist, vielleicht nicht mehr. Vor allem bei komplexeren Themen sind "Verweise" gut. Hier kann man sich den Hinweis mit dem Pascalschen Dreieck auch fast sparen, denn das ist "elementares Wissen eines jeden Analytikers". Aber wie gesagt: Bei komplexeren Themen musst Du auch berücksichtigen, dass nicht unbedingt jeder, der das mitverfolgt, auch schon Deinen Kenntnisstand hat... ich hab' sogar mal einem Prof. nochmal an einen relativ bekannten Satz aus der Lebesgueschen Integrationstheorie erinnern müssen, damit er ein Argument, was er in einem Artikel gefunden hat, wieder hat nachvollziehen können. Zugegeben, da waren vorher noch ein paar kleine Umformunegn zu tätigen, und ich hatte das mal in einem Seminar behandelt. Es dauerte auch nochmal ein, zwei Stunden, bis ich das nochmal zusammenbekommen hatte, weil ich es halt nirgends selbst stehen hatte. Aber ich weiß, als ich das Seminar vorbereitet hatte, war die Überlegung in ein paar Minuten abgehandelt. Übrigens ist der Prof., den ich da erwähne,auch wirklich ein sehr sehr kompetenter Mann in seinem Fach. Du siehst also: Solche kleinen Notizen können für "die schlauesten Menschen" mehr als hilfreich sein - außerdem wirst Du mir irgendwann mal dankbar sein, dass Du wenigstens in ein paar Jahren Dein eigenes Zeugs noch detailliert verstehst, wenn Du so vorgehst.  )
> Und danke für deine Korrektur und für den teilweise
> anderen Weg den Beweis zu führen.
Gerne 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 Do 23.02.2012 | | Autor: | Kimmel |
Das werde ich mir auf jeden Fall merken!
(Und versuche das bei den nächsten Übungsaufgaben das gleich zu berücksichtigen)
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