Übungsserie 2, Aufgabe 2 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | II-2:
a) Es seien die reellen Zahlen a,b gegeben mit |a-3| [mm] \le [/mm] 3 * [mm] 10^{-3} [/mm] und |b+2| [mm] \le [/mm] 2 * [mm] 10^{-3} [/mm] . Schätzen Sie damit (nach oben und unten) ab:
|a+b-1|
b) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die gilt:
||x+1|-|x+3||< 1 |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Do 23.02.2012 | | Autor: | Kimmel |
Es gilt: [mm]|a - 3 + b + 2| \le |a - 3| + |b + 2| [/mm](Dreiecksungleichung)
Daher ist [mm]|a + b - 1|[/mm] nach oben durch [mm]3 \cdot 10^{-3} + 2 \cdot 10^{-3} = 5 \cdot 10^{-3} [/mm] abschätzbar.
Nach unten kann man es mit 0 abschätzen, da [mm] |a-3| [/mm] und [mm] |b+2| [/mm] aufgrund des Betrages nie kleiner 0 sein kann.
Außerdem existiert ein a und ein b, sodass [mm]|a-3|[/mm] und [mm]|b+2|[/mm] gleich 0 ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Fr 24.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es gilt: [mm]|a - 3 + b + 2| \le |a - 3| + |b + 2| [/mm](Dreiecksungleichung)
>
> Daher ist [mm]|a + b - 1|[/mm] nach oben durch [mm]3 \cdot 10^{-3} + 2 \cdot 10^{-3} = 5 \cdot 10^{-3}[/mm]
> abschätzbar.
>
> Nach unten kann man es mit 0 abschätzen, da [mm]|a-3|[/mm] und
> [mm]|b+2|[/mm] aufgrund des Betrages nie kleiner 0 sein kann.
> Außerdem existiert ein a und ein b, sodass [mm]|a-3|[/mm] und
> [mm]|b+2|[/mm] gleich 0 ist.
Alles richtig
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm]||x+1|-|x+3|| < 1[/mm]
Fallunterscheidung:
Fall 1
$|x+1| - |x+3| < 1$
Fall 1.1
[mm]
x+1 - (x+3) < 1[/mm]
[mm]-2 < 1[/mm]
Fall 1.2
$x+1+x+3 < 1$
$x < [mm] -\frac{3}{2}$ [/mm]
Fall 1.3
$-x-1-x-3<1$
$x > [mm] -\frac{5}{2}$
[/mm]
Fall 1.4
$-x-1+x+3$
$-2 < 1$
Fall 2.1
-(x+1-x-3) < 1
2 < 1
(kann das überhaupt sein?)
Fall 2.2
-(x + 1 + x + 3) < 1
$x > [mm] -\frac{5}{2}$
[/mm]
Fall 2.3
-(-x-1-x-3) < 1
$x < [mm] -\frac{3}{2}$ [/mm]
Fall 2.4
-(-x-1+x+3) < 1
2 < 1
(Kann das auch gehen?)
Jedenfalls:
[mm]\IL = {{x \in \IR | -\frac{5}{2} < x < -\frac{3}{2}}}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 26.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]||x+1|-|x+3|| < 1[/mm]
>
> Fallunterscheidung:
>
> Fall 1
> [mm]|x+1| - |x+3| < 1[/mm]
>
> Fall 1.1
hier die Bed für x aufschreiben: x+1>0,x+3>0 also x>-1
daraus x+1 - (x+3)=-2
|-2|>1
fällt weg.
> [mm]
x+1 - (x+3) < 1[/mm]
> [mm]-2 < 1[/mm]
>
>
> Fall 1.2
da wolltest du x+1>0, x+3<0 also x>-1 und x<-3 unmöglich!
> [mm]x+1+x+3 < 1[/mm]
> [mm]x < -\frac{3}{2}[/mm]
>
> Fall 1.3
>
> [mm]-x-1-x-3<1[/mm]
also x+1<0 x+3>0 x<-1,x>-3
> [mm]x > -\frac{5}{2}[/mm]
>
> Fall 1.4
>
> [mm]-x-1+x+3[/mm]
> [mm]-2 < 1[/mm]
>
> Fall 2.1
>
> -(x+1-x-3) < 1
> 2 < 1
> (kann das überhaupt sein?)
natürlich nicht
> Fall 2.2
> -(x + 1 + x + 3) < 1
> [mm]x > -\frac{5}{2}[/mm]
>
> Fall 2.3
> -(-x-1-x-3) < 1
> [mm]x < -\frac{3}{2}[/mm]
>
> Fall 2.4
> -(-x-1+x+3) < 1
> 2 < 1
> (Kann das auch gehen?)
>
> Jedenfalls:
>
> [mm]\IL = {{x \in \IR | -\frac{5}{2} < x < -\frac{3}{2}}}[/mm]
Deine Lösungsmenge ist richtig, deine Fallunterscheidungen undurchsichtig, d.h. man sieht nicht, wie du auf das ergebnis kommst.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Kimmel |
Okay, danke.
Dann wage ich mal einen zweiten Versuch:
Fall 1:
$x+1 > 0, x+3 >0$
$=> x > -1$
Also:
| x+1-x-3 | < 1
| -2| < 1
=> keine Lösung, daher: Fällt weg
Fall 2:
x+1>0, x+3<0
=> geht nicht!
Fall 3:
x+1<0, x+3<0
=> x<1, x<-3
Also
|-(x+1)+x+3| < 1
|2| < 1
=> fällt ebenfalls weg
Fall 4:
x+1<0, x+3>0
=> x<1, x>-3
Also:
|-x-1-x-3| < 1
|-2x-4| < 1
|-(2x+4)| < 1
Fall 4.1:
|-(2x+4)| > 0
Also:
2x+4 < 1
x < [mm] -\frac{3}{2}
[/mm]
Fall 4.2:
|-(2x+4)| < 0
Also:
-(2x+4) < 1
x > [mm] -\frac{5}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mi 29.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, Lösung dann noch wie im vorigen post zusammenfassen
gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Kimmel |
Puh, endlich.
Danke.
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