Übungsserie 2, Aufgabe 4 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | II-4: Untersuchen Sie, ob die Mengen M nach oben/unten beschränkt sind und bestimmen Sie ggf. sup M und inf M:
a) M := {x [mm] \in \IR [/mm] | x = 1 - [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] }
b) M := {x [mm] \in \IR [/mm] | x = t + [mm] \bruch{1}{t} [/mm] , 0 < t [mm] \le [/mm] 10, t [mm] \in \IR [/mm] } |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Di 07.02.2012 | | Autor: | Kimmel |
Behauptung:
[mm]
sup(M) = max (M) = 2
[/mm]
[mm]
inf(M) = min (M) = \frac{1}{2}
[/mm]
Beweis:
Sei [mm]a_n := 1 - \frac{(-1)^n}{n} [/mm]
Aufteilung in zwei Teilfolgen:
[mm]
a_{2n} = 1 - \frac{1}{2n}
[/mm]
[mm]
a_{2n-1} = 1 + \frac{1}{2n-1}
[/mm]
Man zeigt, dass [mm] a_{2n} [/mm] streng monoton wächst (was ich hier jetzt nicht tue, weil das zuviel Tipparbeit wäre)
Somit besitzt es ein Minimum/Infimum bei n = 1 => [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Es besitzt auch ein Supremum:
[mm] \lim_{n \to \infty}a_{2n} [/mm] = 1
Desweiteren ist [mm] a_{2n-1} [/mm] streng mon. fallend
=> Max/Sup bei n = 1 => 2
Infimum bei: [mm] \lim_{n \to \infty}a_{2n - 1} [/mm] = 1
Damit besitzt die gesamte Folge ein Sup/Max bei 2 und ein Inf/Min bei [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Und die Folge/Menge ist beschränkt, da [mm] \left| 1 - \frac{(-1)^n}{n}\right| \le [/mm] 2 [mm] \forall [/mm] n
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Das ist so korrekt! (und die eingesparte Tipparbeit sei verziehn  )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Kimmel |
Man dankt :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Kimmel |
Behauptung:
Supremum existiert nicht und Infimum ist 2.
Beweis:
Sei f: [mm] \begin{cases} (0,10] &\to \IR \\ t &\mapsto f(t) := t + \frac{1}{t} \end{cases}
[/mm]
$f'(t) = 1 - [mm] \frac{1}{t^2}$
[/mm]
[mm] $t_1 [/mm] = 1, [mm] t_2 [/mm] = -1$
$f''(t) = [mm] \frac{2}{t^3}$
[/mm]
$f''(1) > 0$
=> Tiefpunkt
$f''(-1) < 0$
=> Hochpunkt
Das Minimum/Infimum ist also bei x = 1 und besitzt den Wert 2.
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0} [/mm] f(t) = [mm] \infty$
[/mm]
=> Supremum ist nicht existent.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Fr 24.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo Kimmel
richtig, aber eigentlich müsstest du noch den Randpunkt t=10 ansehen, der hier aber weder min noch max ist
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Kimmel |
Hallo leduart,
oh, okay. Ich hab gedacht, dass sei nicht nötig, weil der linke Rand gegen unendlich läuft.
Aber das werde ich beim nächsten Mal, hinschreiben.
Danke!
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