Übungsserie 3, Aufgabe 2 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | III-2: Jedes Intervall (a,b) [mm] \subseteq \IR [/mm] , a<b ist überabzählbar. Zeigen Sie als Folgerung, dass jedes Intervall (a,b) abzählbar viele rationale Zahlen und überabzählbar viele irrationale Zahlen enthält. (Hinweis: 2. Cantorsches Diagonalverfahren) |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 So 04.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Behauptung: [mm] $(a;b)\subseteq \IR$ [/mm] mit $a<b$ ist überabzählbar
Beweis(versuch):
Sei $d [mm] \in \IR$ [/mm] so gewählt, sodass $(a+d; b+d) = (0;b+d) [mm] \subseteq \IR$.
[/mm]
Man wähle ein Intervall [mm] $(0;0,\underbrace{\ldots}_{m-Mal \ 0}1) \subseteq [/mm] (0;b+d)$
Sei [mm] $(0;0,\ldots1)$ [/mm] abzählbar.
Dann existiert eine bijektive zwischen [mm] $\IN$ [/mm] und der Menge, sodass man eine Liste erstellen kann, wie die Bijektion aussieht (Dezimalbruchentwicklung):
[mm] $g_1: 0,\ldots0 [/mm] \ [mm] p_{11} [/mm] \ [mm] p_{12} [/mm] \ [mm] p_{13}...$
[/mm]
[mm] $g_2: 0,\ldots0 [/mm] \ [mm] p_{21} [/mm] \ [mm] p_{22} [/mm] \ [mm] p_{23}...$
[/mm]
[mm] $g_3: 0,\ldots0 [/mm] \ [mm] p_{31} [/mm] \ [mm] p_{32} [/mm] \ [mm] p_{33}...$
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Aber man kann sich eine Zahl konstruieren, die nicht in der Liste enthalten ist:
[mm] h_n=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } p_{nn} \not= 0 \\ 1, & \mbox{falls } p_{nn} = 0\end{cases}
[/mm]
Daraus folgt, dass keine Bijektion existiert (da Widersrpuch).
Das heißt, [mm] $(0;0,\ldots1)$ [/mm] ist nicht abzählbar und alle Obermengen von dieser Menge ebenfalls.
Somit ist $(a,b)$ nicht abzählbar.
Es ist $(a;b) [mm] \subseteq \IR \gdw [/mm] (a;b) [mm] \subseteq \IR\backslash\IQ \cup \IQ$
[/mm]
Die Menge der rationalen Zahlen im Intervall ist abzählbar (laut III-1).
Die Menge der irrationalen Zahlen im Intervall aber überabzählbar.
Wäre sie abzählbar, dann wäre die ganze Menge $(a;b)$ abzählbar, da die Vereinigung von endlich vielen abzählbaren Mengen wieder abzählbar ist.
Doch $(a;b)$ ist nicht abzählbar, also muss [mm] $\IR \backslash \IQ$ [/mm] auch nicht abzählbar sein.
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