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Forum "VK 60: Analysis" - Übungsserie 3, Aufgabe 3
Übungsserie 3, Aufgabe 3 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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Übungsserie 3, Aufgabe 3: Aufgabe 3
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 10:54 Di 14.02.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
III-3: Berechnen Sie folgende komplexe Zahlen in der Form a+bi :

(i)  [mm] (3-2i)^{3} [/mm]
(ii) [mm] (\bruch{1-i}{1+i})^{10} [/mm]
(iii) [mm] \bruch{5}{3-4i} [/mm] + [mm] \bruch{10}{4+3i} [/mm]

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)

        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: ( i )
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Fr 02.03.2012
Autor: Kimmel

[mm] \begin{matrix} (3-2i)^3&=& 27 - 9*2i + 3*4i^2 - (2i)^3 \\ \ &=& 27 - 18i -12 -8i^3 \\ \ &=& 15 - 18i + 8i \\ \ &=& 15 - 10i \end{matrix} [/mm]

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: Koeffizienten falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:18 Sa 03.03.2012
Autor: Loddar

Hallo Kimmel!


Du hast hier beim Ausmultiplizieren einige Faktoren / Koeffizienten vergessen.

Es gilt:

[mm](a+b)^3 \ = \ a^3+\red{3}*a^2*b+\red{3}*a*b^2+b^3[/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:22 Sa 03.03.2012
Autor: Kimmel

Hallo Loddar,

[mm] \begin{matrix} (3-2i)^3&=& 27 - 3*9*2i + 3*3*4i^2 - (2i)^3 \\ \ &=& 27 - 54i -36 -8i^3 \\ \ &=& -9 - 54i + 8i \\ \ &=& -9 - 46i \end{matrix} [/mm]

Hab das jetzt verbessert.

Bezug
                                
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Mi 07.03.2012
Autor: Loddar

Hallo Kimmel!


> [mm]\begin{matrix} (3-2i)^3&=& 27 - 3*9*2i + 3*3*4i^2 - (2i)^3 \\ \ &=& 27 - 54i -36 -8i^3 \\ \ &=& -9 - 54i + 8i \\ \ &=& -9 - 46i \end{matrix}[/mm]

[ok] So stimmt es.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: (ii)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Fr 02.03.2012
Autor: Kimmel

[mm] \begin{matrix} \left( \frac{1 - i}{1+i} \right)^{10} &=& \frac{(1-i)^{10}}{(1+i)^{10}} \\ \ & =& \frac{((1-i)^2)^5}{((1+i)^2)^5}\\ \ & =& \frac{(1-2i+i^2)^5}{(1+2i+i^2)^5}\\ \ & =& \frac{(-2i)^5}{(2i)^5}\\ \ & =& \left( -\frac{2i}{2i} \right)^5\\ \ & =& (-1)^5\\ \ & =& -1\\ \end{matrix} [/mm]

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: Ergebnis okay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:22 Sa 03.03.2012
Autor: Loddar

Hallo Kimmel!


Das Ergebnis ist korrekt. Etwas schneller wärst Du wohl gewesen, wenn Du zunächst den Bruch umgeformt und vereinfacht hättest:

[mm]\bruch{1-i}{1+i} \ = \ \bruch{(1-i)*(1-i)}{(1+i)*(1-i)} \ = \ \bruch{1-2*i+i^2}{1-i^2} \ = \ ...[/mm]

Und nach dem Vereinfachen dann [mm](...)^{10}[/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Fr 02.03.2012
Autor: TheBozz-mismo

Hallo!
Da diese Aufgabe auch für Interessierte ist, versuch ich es mal
(i) [mm] (3-2i)^3=(3-2i)^2*(3-2i)=(9-12i+4i^2)*(3-2i) [/mm]
[mm] =(-12i+5)*(3-2i)=-36i+24i^2+15-10i=-46i-24+15=-9-46i [/mm]

(ii) Betrachte zunächst [mm] \bruch{1-i}{1+i}=\bruch{1-i}{1+i}*\bruch{1-i}{1-i}=\bruch{(1-i)^2}{1-i+i-i^2}=\bruch{1-2i+i^2}{2}=\bruch{-2i}{-2}=-i [/mm]

=>$ [mm] (\bruch{1-i}{1+i})^{10} [/mm] $ [mm] =(-i)^10=(-i)^2*(-i)^2*(-i)^2*(-i)^2*(-i)^2=i^2*i^2*i^2*i^2*i^2=(-1)*(-1)*(-1)*(-1)*(-1)=-1 [/mm]

(iii) Betrachte zunächst [mm] \bruch{5}{3-4i} [/mm]
[mm] \bruch{5}{3-4i}=\bruch{5}{3-4i}*\bruch{3+4i}{3+4i}=\bruch{15+20i}{9+12i-12i-16i^2}=\bruch{15+20i}{25}=\bruch{3}{5}+\bruch{4}{5}*i [/mm]
Betrachte nun [mm] \bruch{10}{4+3i} [/mm]
[mm] \bruch{10}{4+3i}=\bruch{10}{4+3i}*\bruch{4-3i}{4-3i}=\bruch{40-30i}{14-12i+12i-9i^2}=\bruch{40-30i}{25}=\bruch{8}{5}-\bruch{6}{5}*i [/mm]

=> $ [mm] \bruch{5}{3-4i} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{10}{4+3i} $=\bruch{3}{5}+\bruch{4}{5}*i+\bruch{8}{5}-\bruch{6}{5}*i=\bruch{11}{5}-\bruch{2}{5}*i [/mm]

Alles ok so?

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: alles richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Mi 07.03.2012
Autor: Loddar

Hallo TheBozz-mismo!


Ich konnte keinen Fehler entdecken. Alle Ergebnisse sind richtig. [applaus]


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:45 Do 08.03.2012
Autor: TheBozz-mismo

Danke für die Bestätigung

Bezug
        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: (iii)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Fr 02.03.2012
Autor: Kimmel

[mm] \begin{matrix} \frac{5}{3-4i} + \frac{10}{4+3i}&=& \frac{5*(4+3i)+10*(3-4i)}{(3-4i)(4+3i)} \\ \ & =& \frac{20+15i+30-40i}{12+9i-16i+12} \\ \ &=& \frac{50 - 25i}{24-7i} \\ \ &=& \frac{(50-25i)(24+7i)}{576+49} \\ \ &=& \frac{1200 + 350i - 600 + 175}{625} \\ \ &=& \frac{775+350i}{625} \\ \ &=& \frac{775}{625} + \frac{350}{625}i \\ \ &=& \frac{31}{25} + \frac{14}{25}i \end{matrix} [/mm]

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: ein i verschwunden
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 Mi 07.03.2012
Autor: Loddar

Hallo Kimmel!


> [mm]\begin{matrix} \frac{5}{3-4i} + \frac{10}{4+3i}&=& \frac{1200 + 350i - 600 + 175}{625} \end{matrix}[/mm]

[notok] Hier ist Dir ein [mm]i_[/mm] verloren gegangen. [mm]-25i*24_[/mm] ergibt [mm]-600*\red{i}[/mm] .


Gruß
Loddar  


Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 Mi 07.03.2012
Autor: Kimmel

Hallo Loddar,

Mist.

Das füge ich dann noch schnell ein...:

$ [mm] \begin{matrix} \frac{5}{3-4i} + \frac{10}{4+3i}&=& \frac{5\cdot{}(4+3i)+10\cdot{}(3-4i)}{(3-4i)(4+3i)} \\ \ & =& \frac{20+15i+30-40i}{12+9i-16i+12} \\ \ &=& \frac{50 - 25i}{24-7i} \\ \ &=& \frac{(50-25i)(24+7i)}{576+49} \\ \ &=& \frac{1200 + 350i - 600i + 175}{625} \\ \ &=& \frac{1375-250i}{625} \\ \ &=& \frac{1375}{625} - \frac{250}{625}i \\ \ &=& \frac{11}{5} - \frac{2}{5}i \end{matrix} [/mm] $

Bezug
                                
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: nun richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Mi 07.03.2012
Autor: Loddar

Hallo Kimmel!


> [mm]\frac{11}{5} - \frac{2}{5}i[/mm]

Nun stimmt's. [ok]


Gruß
Loddar


Bezug
                                        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:50 Mi 07.03.2012
Autor: Kimmel

Hallo Loddar,

danke für die Korrektur!

Bezug
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