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Forum "VK 59: Lineare Algebra" - Übungsserie 4, Aufgabe 1
Übungsserie 4, Aufgabe 1 < VK 59: LinAlg < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Aufgabe 1
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 11:23 Mo 27.02.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
IV-1: a) Ist die Menge U:={ [mm] (x_{1},x_{2}) \in \IR^{2} [/mm] ; [mm] x_{1}*x_{2}\ge [/mm] 0 } ein Unterraum von [mm] \IR^{2}? [/mm]
b) Zeigen Sie, dass der Durchschnitt (auch unendlich vieler) Unterräume eines Vektorraums wieder ein Unterraum von V ist. Gilt dies auch für die Vereinigung?

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Lineare Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)



        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 1: a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Sa 10.03.2012
Autor: Kimmel

Sei $u = (-1,-5), v= (3,3) [mm] \in [/mm] U$

$u + v = (-1+3,-5+3) = (2,-2) [mm] \not\in [/mm] U$

Also kein Unterraum.


Bezug
                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Sa 10.03.2012
Autor: Schadowmaster


> Sei [mm]u = (-1,-5), v= (3,3) \in U[/mm]
>  
> [mm]u + v = (-1+3,-5+3) = (2,-2) \not\in U[/mm]
>  
> Also kein Unterraum.
>  

[ok]

Allgemein sollte man, wenn in der Bedingung ein Produkt (eine Potenz, etc.) steht immer aufpassen, die vertragen sich nur selten mit den Unterraumaxiomen. ;)

Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:46 Sa 10.03.2012
Autor: Kimmel

Danke!


> Allgemein sollte man, wenn in der Bedingung ein Produkt
> (eine Potenz, etc.) steht immer aufpassen, die vertragen
> sich nur selten mit den Unterraumaxiomen. ;)

Echt?
Okay, werde ich mir merken!

Bezug
        
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Übungsserie 4, Aufgabe 1: b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 So 11.03.2012
Autor: Kimmel

Sei [mm] $U_i$ [/mm] mit $i [mm] \in [/mm] I$ die Menge aller Unterräume.

$0 [mm] \in U_i$, [/mm] da in jedem Unterraum der Nullvektor enthalten ist, und er nicht durch den Durchschnitt verloren geht.

Sei $v,w [mm] \in \bigcap_{i \in I} U_i$ [/mm]

Daraus folgt, dass $\ v,w$ ebenfalls in den einzelnen Unterräumen liegt.
Da in diesen einzelnen Unterräumen $\ v+w$ abgeschlossen ist, so ist dieser auch in dem Durchschnitt abgeschlossen.

Dasselbe gilt auch für [mm] $\lambda*v$ [/mm] mit [mm] $\lambda \in [/mm] K$

Somit ist der Durchschnitt (un-)endlich vieler Unterräume wieder ein Unterraum.

Das gilt aber nicht für die Vereinigung:

Sei $V = [mm] \IR^2$, U_1 [/mm] die Menge der Punkte auf der x-Achse und [mm] U_2 [/mm] die Menge der y-Achse.

Die Vereinigung dieser Unterräume beinhalten also die x und y-Achsen.

Jedoch ist $\ (1,0) + (0,1)$ kein Element der Vereinigung dieser Unterräume und damit kein Unterraum.


Bezug
                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 So 11.03.2012
Autor: Schadowmaster

Genau.

Wenn du Lust hast, kannst du dir noch das überlegen:

Sei $V$ ein Vektorraum und [mm] $U_1,U_2$ [/mm] zwei Unterräume von $V$.
Finde (mit Beweis) eine Bedingung dafür, dass [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] ein Unterraum von $V$ ist.
Also [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] ist ein Unterraum von $V$ genau dann wenn ...


lg

Schadow

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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 So 11.03.2012
Autor: Kimmel

Wenn [mm] $U_1 [/mm] = [mm] U_2$ [/mm] :D

Hm, bei [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = V$, müsste das auch gehen.

Bezug
                                
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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 So 11.03.2012
Autor: Schadowmaster


> Wenn [mm]U_1 = U_2[/mm] :D

ja, aber das ist nicht die einzige Möglichkeit.^^

> Hm, bei [mm]U_1 + U_2 = V[/mm], müsste das auch gehen.  

nö.
Nimm für [mm] $U_1$ [/mm] die x-Achse, für [mm] $U_2$ [/mm] die y-Achse und $V = [mm] \IR^2$. [/mm]
Dann ist das genau dein Gegenbeispiel von oben.


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