Übungsserie 4, Aufgabe 1 < VK 59: LinAlg < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | IV-1: a) Ist die Menge U:={ [mm] (x_{1},x_{2}) \in \IR^{2} [/mm] ; [mm] x_{1}*x_{2}\ge [/mm] 0 } ein Unterraum von [mm] \IR^{2}?
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass der Durchschnitt (auch unendlich vieler) Unterräume eines Vektorraums wieder ein Unterraum von V ist. Gilt dies auch für die Vereinigung? |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Lineare Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Sei $u = (-1,-5), v= (3,3) [mm] \in [/mm] U$
$u + v = (-1+3,-5+3) = (2,-2) [mm] \not\in [/mm] U$
Also kein Unterraum.
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> Sei [mm]u = (-1,-5), v= (3,3) \in U[/mm]
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> [mm]u + v = (-1+3,-5+3) = (2,-2) \not\in U[/mm]
>
> Also kein Unterraum.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Allgemein sollte man, wenn in der Bedingung ein Produkt (eine Potenz, etc.) steht immer aufpassen, die vertragen sich nur selten mit den Unterraumaxiomen. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Danke!
> Allgemein sollte man, wenn in der Bedingung ein Produkt
> (eine Potenz, etc.) steht immer aufpassen, die vertragen
> sich nur selten mit den Unterraumaxiomen. ;)
Echt?
Okay, werde ich mir merken!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 So 11.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Sei [mm] $U_i$ [/mm] mit $i [mm] \in [/mm] I$ die Menge aller Unterräume.
$0 [mm] \in U_i$, [/mm] da in jedem Unterraum der Nullvektor enthalten ist, und er nicht durch den Durchschnitt verloren geht.
Sei $v,w [mm] \in \bigcap_{i \in I} U_i$
[/mm]
Daraus folgt, dass $\ v,w$ ebenfalls in den einzelnen Unterräumen liegt.
Da in diesen einzelnen Unterräumen $\ v+w$ abgeschlossen ist, so ist dieser auch in dem Durchschnitt abgeschlossen.
Dasselbe gilt auch für [mm] $\lambda*v$ [/mm] mit [mm] $\lambda \in [/mm] K$
Somit ist der Durchschnitt (un-)endlich vieler Unterräume wieder ein Unterraum.
Das gilt aber nicht für die Vereinigung:
Sei $V = [mm] \IR^2$, U_1 [/mm] die Menge der Punkte auf der x-Achse und [mm] U_2 [/mm] die Menge der y-Achse.
Die Vereinigung dieser Unterräume beinhalten also die x und y-Achsen.
Jedoch ist $\ (1,0) + (0,1)$ kein Element der Vereinigung dieser Unterräume und damit kein Unterraum.
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Genau.
Wenn du Lust hast, kannst du dir noch das überlegen:
Sei $V$ ein Vektorraum und [mm] $U_1,U_2$ [/mm] zwei Unterräume von $V$.
Finde (mit Beweis) eine Bedingung dafür, dass [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] ein Unterraum von $V$ ist.
Also [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] ist ein Unterraum von $V$ genau dann wenn ...
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 11.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Wenn [mm] $U_1 [/mm] = [mm] U_2$ [/mm] :D
Hm, bei [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = V$, müsste das auch gehen.
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> Wenn [mm]U_1 = U_2[/mm] :D
ja, aber das ist nicht die einzige Möglichkeit.^^
> Hm, bei [mm]U_1 + U_2 = V[/mm], müsste das auch gehen.
nö.
Nimm für [mm] $U_1$ [/mm] die x-Achse, für [mm] $U_2$ [/mm] die y-Achse und $V = [mm] \IR^2$.
[/mm]
Dann ist das genau dein Gegenbeispiel von oben.
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