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Forum "VK 60: Analysis" - Übungsserie 4, Aufgabe 1
Übungsserie 4, Aufgabe 1 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Aufgabe 1
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 12:48 Mo 27.02.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
IV-1: a) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der Gleichung  [mm] (z-3i)^{6} [/mm] + 64 = 0.
b) Sei [mm] P(z)=z^{5}+z^{4}-2z^{3}+2z^{2}+4z. [/mm]  Zerlegen Sie P in Linearfaktoren und berechnen Sie P(1+i).

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)

        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 1: a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Mi 07.03.2012
Autor: Kimmel

[mm] \begin{matrix} (z - 3i)^6 &=& - 64$ \\ z - 3i &=& \wurzel[6]{-64} \\ z - 3i &=& \pm 2i \\ \end{matrix} [/mm]

[mm] $z_1 [/mm] = 5i$
[mm] $z_2 [/mm] = i$

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Mi 07.03.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Kimmel,


> [mm]\begin{matrix} (z - 3i)^6 &=& - 64$ \\ z - 3i &=& \wurzel[6]{-64} \\ z - 3i &=& \pm 2i \\ \end{matrix}[/mm]

Nein, das geht so nicht, es gibt 6 Lösungen!

Du musst schon die Moivreformel nehmen oder in Exponentialschreibweise umschreiben.

Hilfreich ist es, zunächst [mm]w:=z-3i[/mm] zu substituieren und [mm]w^6=-64[/mm] zu lösen.

> [mm]z_1 = 5i[/mm]
>  [mm]z_2 = i[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                        
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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Mi 07.03.2012
Autor: Kimmel

Hallo schachuzipus,

Sieht so aus, als müsste ich das noch nachlernen.

Ich kenne beide Formen noch nicht...
(wenn das, was in Wikipedia steht, richtig ist)

Bezug
                                
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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:02 Mi 07.03.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

jo, was ich da so als Exponentialform bezeichnet habe, heißt Polarform.

Schaue dir bei wiki-komplexe Zahlen unter 6.2 mal "Wuzeln" an ...

Gruß

schachuzipus


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Übungsserie 4, Aufgabe 1: a) Versuch 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Do 08.03.2012
Autor: Kimmel

Nachdem ich das fehlende Wissen nachgeholt habe, hoffe ich, dass das jetzt ok ist.

[mm] $(z-3i)^6 [/mm] = -64 $

Sei $ w:= z - 3i $

[mm] $\Rightarrow w^6 [/mm] = -64$

$w = [mm] \wurzel[6]{|-64|} [/mm] * i* [mm] \exp \left( \frac{\pi}{6} + k * \frac{2 \pi}{6} \right) \qquad [/mm] k [mm] \in {\{0,1,2,3,4,5}\}$ [/mm]

[mm] $w_1 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{ \pi }{6} \right) + i * \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( \frac{\wurzel{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] + i [mm] \Rightarrow z_1 [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] + 4i$

[mm] $w_2 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{3\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{3\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( 0 + i \right) [/mm] = 2i [mm] \Rightarrow z_2 [/mm] = 5i$

[mm] $w_3 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( -\frac{\wurzel{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) [/mm] = [mm] -\wurzel{3} [/mm] + i [mm] \Rightarrow z_3 [/mm] = [mm] -\wurzel{3} [/mm] + 4i $

[mm] $w_4 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{7\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{7\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( -\frac{\wurzel{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) [/mm] = [mm] -\wurzel{3} [/mm] - i [mm] \Rightarrow z_4 [/mm] = [mm] -\wurzel{3} [/mm] + 2i$

[mm] $w_5 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{9\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{9\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( 0 - i \right) [/mm] = -2i [mm] \Rightarrow z_5 [/mm] = i$

[mm] $w_6 [/mm] = 2 [mm] \left( \cos \left( \frac{11\pi}{6} \right) - i * \sin \left( \frac{11\pi}{6} \right) \right) [/mm] = 2 [mm] \left( \frac{\wurzel{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] - i [mm] \Rightarrow z_6 [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] + 2i$


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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Do 08.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Kimmel,

> Nachdem ich das fehlende Wissen nachgeholt habe, hoffe ich,
> dass das jetzt ok ist.
>  
> [mm](z-3i)^6 = -64[/mm]
>  
> Sei [mm]w:= z - 3i[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow w^6 = -64[/mm]
>  
> [mm]w = \wurzel[6]{|-64|} * i* \exp \left( \frac{\pi}{6} + k * \frac{2 \pi}{6} \right) \qquad k \in {\{0,1,2,3,4,5}\}[/mm]
>  
> [mm]w_1 = 2 \left( \cos \left( \frac{ \pi }{6} \right) + i * \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( \frac{\wurzel{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = \wurzel{3} + i \Rightarrow z_1 = \wurzel{3} + 4i[/mm]
>  
> [mm]w_2 = 2 \left( \cos \left( \frac{3\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{3\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( 0 + i \right) = 2i \Rightarrow z_2 = 5i[/mm]
>  
> [mm]w_3 = 2 \left( \cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( -\frac{\wurzel{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\wurzel{3} + i \Rightarrow z_3 = -\wurzel{3} + 4i[/mm]
>  
> [mm]w_4 = 2 \left( \cos \left( \frac{7\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{7\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( -\frac{\wurzel{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) = -\wurzel{3} - i \Rightarrow z_4 = -\wurzel{3} + 2i[/mm]
>  
> [mm]w_5 = 2 \left( \cos \left( \frac{9\pi}{6} \right) + i * \sin \left( \frac{9\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( 0 - i \right) = -2i \Rightarrow z_5 = i[/mm]
>  
> [mm]w_6 = 2 \left( \cos \left( \frac{11\pi}{6} \right) - i * \sin \left( \frac{11\pi}{6} \right) \right) = 2 \left( \frac{\wurzel{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) = \wurzel{3} - i \Rightarrow z_6 = \wurzel{3} + 2i[/mm]
>  

  

[ok]


Gruss
MathePower

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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Do 08.03.2012
Autor: Kimmel

Okay, danke.

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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Fr 13.04.2012
Autor: MartinNeumann

Ich hätte hierzu eine Frage. Die Exponentialfunktion kenne ich nur mit [mm] e^{ix} [/mm] also müsste bei dir das i in den Exponenten.

Meine eigentliche Frage aber ist, wie ihr auf [mm] \pi [/mm] bekommen seit für das Argument von w in der Formel  [mm] \frac{\varphi+2\pi k}{6} [/mm] für [mm] \varphi. [/mm]

Bezug
                                
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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Fr 13.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo MN,


> Ich hätte hierzu eine Frage. Die Exponentialfunktion kenne
> ich nur mit [mm]e^{ix}[/mm] also müsste bei dir das i in den
> Exponenten.

Da hast du recht, das ist Kimmel in seiner Rechnung wohl "verrutscht", er hat es nachher bei der Umwandlung in die trigonometrische Form aber wieder richtig verarbeitet - vermutlich was das also nur ein Tippfehler ...

>  
> Meine eigentliche Frage aber ist, wie ihr auf [mm]\pi[/mm] bekommen
> seit für das Argument von w in der Formel  
> [mm]\frac{\varphi+2\pi k}{6}[/mm] für [mm]\varphi.[/mm]  

[mm]\pi[/mm] ist nicht das Argument von [mm]w[/mm] sondern von [mm]w^6[/mm]

Es ist [mm]w^6=-64[/mm], das liegt also auf der negativen reellen Achse. Da kannst du doch das Argument im Koordinatensystem ablesen.

[mm]w^6[/mm] schließt mit der (positiven) x-Achse einen Winkel von [mm]180°[/mm], also [mm]\pi[/mm] ein.

Auf die verschiedenen Argumente der [mm]w_k[/mm] kommt man dann mit der Moivreformel ...


Gruß

schachuzipus


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Übungsserie 4, Aufgabe 1: b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Do 08.03.2012
Autor: Kimmel

Linearfaktorzerlegung:

$ \ P(z) = z*(z+1)*(z+2)*(z-(1+i))*(z-(1-i))$

Ich habe das mit dem Horner-Schema aufgestellt.
Gibt es einen einfacheren Weg?

$\ P(1+i) = 0$, da $ \ 1+i $ eine Nullstelle ist .


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Übungsserie 4, Aufgabe 1: sieht gut aus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Fr 30.03.2012
Autor: Loddar

Hallo Kimmel!


> Linearfaktorzerlegung: [mm]\ P(z) = z*(z+1)*(z+2)*(z-(1+i))*(z-(1-i))[/mm]

[daumenhoch]


> Ich habe das mit dem Horner-Schema aufgestellt.
> Gibt es einen einfacheren Weg?

Evtl. MBPolynomdivision (aber ist das wesentlich anders?)


> [mm]\ P(1+i) = 0[/mm], da [mm]\ 1+i[/mm] eine Nullstelle ist .

[ok]


Gruß
Loddar


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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Merci
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:04 Sa 31.03.2012
Autor: Kimmel

Auch hier danke!

Hm, Polynomdivision. Sieht nach mehr Arbeit aus.

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Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Sa 14.04.2012
Autor: MartinNeumann

Ich habe das jetzt mit der Polynomdivision versucht und bin gescheitert, denn ich weiß nicht wie ich [mm] z^5 [/mm] durch (1+i) teilen soll.

$z = x + iy$

[mm] \frac{z^5}{1+i} [/mm]

= [mm] \frac{z^5(1-i)}{(1+i)(1-i)} [/mm]

= [mm] \frac{z^5(1-i)}{1-i+i-i^2} [/mm]

= [mm] \frac{z^5(1-i)}{(1+i)(1-i)} [/mm]

= [mm] \frac{z^5(1-i)}{2} [/mm]

Das bringt mich aber auch nicht weiter. Könnt Ihr mir auf die Sprünge helfen?

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Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 1: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Sa 14.04.2012
Autor: Loddar

Hallo Martin!


Du musst hier doch wie folgt dividieren:

[mm]\left(z^5+...\right) \ : \ \left[z-(1+i)\right] \ = \ ...[/mm]

Aber vor der MBPolynomdivision solltest Du auch erst $z_$ ausklammern.


Gruß
Loddar




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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:47 Sa 14.04.2012
Autor: MartinNeumann

Okay, wenn ich z ausklammer, dann habe ich:

[mm] z(z^4+z^3-2z^2+2z+4):(1+i)= [/mm] ...

Mein erster Schritt der Polynomdivision wäre aber immernoch:

[mm] z^4/(1+i) [/mm] ... und da stellt sich mir die selbe Frage wie davor.

Wie teile das?

Bezug
                                                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 1: siehe oben!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:50 Sa 14.04.2012
Autor: Loddar

Hallo Martin!


> Wie teile das?

Indem Du vielleicht meine obige Antwort etwas aufmerksamer und langsamer durchliest.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                        
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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Sa 14.04.2012
Autor: MartinNeumann

Okay, dann stellt sich mir die Frage wie du auf den Divisor $z-(1+i)$ kommst? Auf Anhieb könnte ich jetzt nicht sagen, "ahh ich muss durch $z-(1+i)$ teilen". Wie bist Du/Ihr auf den gekommen?

Edit:
Ich kenne das nur, dass man eine Nullstelle raten muss, aber nur weil in der Aufgabenstellung steht, dass man danach auch noch $P(1+i)$ ausrechnen soll heißt das ja nicht, dass man da eine Nullstelle hat.

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Übungsserie 4, Aufgabe 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:18 Mi 18.04.2012
Autor: mathecoach

wir haben den Term

[mm] z^5 [/mm] + [mm] z^4 [/mm] - 2 * [mm] z^3 [/mm] + 2 * [mm] z^2 [/mm] + 4 * z

Da ich hier zumindest ein z ausklammern kann teile ich dadurch.

[mm] (z^5 [/mm] + [mm] z^4 [/mm] - 2 * [mm] z^3 [/mm] + 2 * [mm] z^2 [/mm] + 4 * z) : z = [mm] z^4 [/mm] + [mm] z^3 [/mm] - 2 * [mm] z^2 [/mm] + 2 * z + 4

Über eine Wertetabelle bekomme ich die weiteren ganzzahligen Nullstellen bei -2 und -1 durch die ich auch teile.

[mm] (z^4 [/mm] + [mm] z^3 [/mm] - 2 * [mm] z^2 [/mm] + 2 * z + 4) : (z + 2) = [mm] z^3 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] + 2

[mm] (z^3 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] + 2) : (z + 1) = [mm] z^2 [/mm] - 2 * z + 2

Letztere quadratische Gleichung gibt nur noch zwei Komplexe Nullstellen bei (1 - i) oder (1 + i)

Daher ist die Faktorzerlegung:

z * (z + 2) * (z + 1) * (z - (1 - i)) * (z - (1 + i))

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