Übungsserie 4, Aufgabe 4 < VK 59: LinAlg < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | IV-4: Sei V der [mm] \IR [/mm] - Vektorraum aller reellwertigen Funktionen f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] . Zeigen Sie die lineare Unabhängigkeit der folgenden Funktionen aus V:
(a) f(x) = [mm] e^{x} [/mm] , g(x) = sin(x) , h(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
(b) f(x) = [mm] e^{x} [/mm] , g(x) = [mm] e^{x^{2}} [/mm] , h(x) = x
(c) f(x) = [mm] e^{x} [/mm] , g(x) = sin(x) , h(x) = cos(x) |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Lineare Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
(Wronski-Determinante)
[mm] $w[\sin(x),\cos(x),e^x] [/mm] = [mm] \vmat{ \sin(x) & \cos(x) & e^x \\ \cos(x) & -\sin(x) & e^x \\ -\sin(x) & -\cos(x) & e^x} [/mm] $
$ = [mm] -\sin^2(x)*e^x [/mm] - [mm] \sin(x)*\cos(x)*e^x [/mm] - [mm] \cos^2(x)*e^x [/mm] - [mm] \sin^2(x)*e^x [/mm] + [mm] \sin(x)*cos(x)*e^x [/mm] - [mm] \cos^2(x)*e^x [/mm] $
$ = [mm] -e^x(\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] + [mm] \sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] $
$ = [mm] -2e^x [/mm] $
Da [mm] $w[\sin(x),\cos(x),e^x]$ [/mm] für alle $x [mm] \not= [/mm] 0$ ist (eig. reicht eins), sind die drei Funktionen linear unabhängig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
(Wronski-Determinante)
[mm] $w[e^x,e^{x^2},x] [/mm] = [mm] \vmat{ e^x & e^{x^2} & x \\ e^x & 2x*e^{x^2} & 1 \\ e^x & 2e^{x^2} + 4x^2*e^{x^2} & 0 }$
[/mm]
$ = [mm] e^{x^2}*e^x [/mm] + [mm] x*e^x(2e^{x^2}+4x^2*e^{x^2}) [/mm] - [mm] x*e^x*2x*e^{x^2} [/mm] - [mm] e^x*(2e^{x^2}+4x^2*e^{x^2})$
[/mm]
$ = [mm] e^x*e^{x^2} [/mm] ( 1 + 2x + [mm] 4x^2 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] - 2 - [mm] 4x^2) [/mm] $
$ = [mm] -e^x*e^{x^2} (2x^2 [/mm] - 2x+1) $
Für alle x ist [mm] $w[e^x,e^{x^2},x] \not= [/mm] 0$.
Daher sind die drei Funktionen linear unabhängig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Sa 10.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beide Aufgaben richtig, einfacher ist es 3 einfache x werte e
einzusetzen und daraus zu zeigen, dass sie lin unabhängig sind.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 So 11.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Kannst du mir zeigen wie das geht bzw. wo ich das nachschauen kann?
Ich habe bisher sowas noch nicht in LA1 gemacht und habe das mithile von Videos/Wikipedia gemacht und da war meinstens nur von der Wronski-Determinante die Rede...
|
|
|
| |
|
Hey Kimmel,
Für lineare Unabhängigkeit soll gelten, dass die Gleichung:
[mm] $a*e^x [/mm] + b*sin(x) + [mm] c*x^2 [/mm] = 0$ nur die Lösung $a=b=c=0$ hat.
Hierbei ist hier keine Gleichheit für einen speziellen $x$-Wert gemeint, sondern es ist eine Gleichheit von Funktionen gemeint, also muss es für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gelten.
Nun heißt es geschickt einsetzen:
1. $x = 0$
Dann vereinfacht sich die Gleichung zu $a*1 + b*0 + c*0 = 0$, also $a=0$.
2. $x=pi$
Da $a$ bereits 0 ist, kriegen wir hier: $b*0 + [mm] c*\pi^2 [/mm] = 0$, also $c=0$.
Nun haben wir die Gleichung in die Form $b*sin(x) = 0$ gebracht.
Da $sin$ nicht die Nullfunktion ist finden wir sicher ein $x$ so, dass $sin(x) [mm] \neq [/mm] 0$, etwa [mm] $x=\pi/2$.
[/mm]
Damit folgt schließlich auch $b=0$ und somit ist gezeigt, dass $a=b=c=0$ gelten muss, die drei Funktionen sind also linear unabhängig.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 So 11.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Dankeschön, Shadowmaster.
Wusste gar nicht, dass man einfach so irgendwelche x-Werte nehmen kann.
|
|
|
|
