umformung mit nabla, div, usw. < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein kleines umforumngsproblem. habe es mir komponentenweise angesehn, aber ich komme nicht darauf.
also
[mm] \vec{u} [/mm] ist vektorfeld
[mm] \rho [/mm] ist ein skalares feld, also eine funktion nach [mm] \IR [/mm] (d.h. ja kein vektor)
p is wie [mm] \rho [/mm] ein skalares feld
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{b}(x(t),t) [/mm] also wie vektorfeld
[mm] \vec{e} [/mm] is ein fester vektor
jetzt soll folgendes gelten:
[mm] -div(\rho\vec{u})\vec{u}\circ\vec{e}-\rho(\vec{u}\circ\nabla)\vec{u}\circ\vec{e}-(\nabla p)\circ\vec{e}+\rho\vec{b}\circ\vec{e}
[/mm]
=
[mm] -div(p\vec{e}+\rho\vec{u}(\vec{u}\circ\vec{e}))+\rho\vec{b}\circ\vec{e}
[/mm]
naja und das krieg ich nicht hin.
es gilt ja
[mm] div(\rho\vec{u})=\rho div(\vec{u})+\vec{u}\circ\nabla\rho
[/mm]
und
wie geht das [mm] (\vec{u}\circ\vec{e}) [/mm] überhaupt in die divergenz rein?
das hab ich mal versucht komponentenweise auszurechnen, aber das führt zu nix.
klar ist doch auch dass
[mm] (\nabla p)\circ\vec{e}=div(p \vec{e}) [/mm] weil e ja konstanter vektor ist
also bliebe noch zu zeigen:
[mm] -div(\rho\vec{u})\vec{u}\circ\vec{e}-\rho(\vec{u}\circ\nabla)\vec{u}\circ\vec{e}
[/mm]
=
[mm] -div(\rho\vec{u}(\vec{u}\circ\vec{e}))
[/mm]
richtig?
und genau das macht keinen sinn, meiner meinung nach
habe auch rausgefunden, dass
[mm] (\vec{u}\circ\nabla)\vec{u}\circ\vec{e}=(\vec{u}\circ\vec{e})div(\vec{u})
[/mm]
aber dann ist [mm] (\vec{u}\circ\vec{e}) [/mm] wieder außerhalb der div
oh mann ich komm nicht weiter
kann jemand helfen? is so ein rumgeschuppse mit den operatoren
danke im voraus,
lannigan
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Hallo lannigan,
Du hast selbst herausgefunden, dass
[mm] $\nabla\cdot(\rho\vec{u})\vec{u}\cdot\vec{e}+\rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}\cdot\vec{e} [/mm] = [mm] \nabla\cdot(\rho\vec{u}(\vec{u}\cdot\vec{e}))$ [/mm]
zu zeigen ist.
Jetzt stellen wir fest, dass [mm] $\vec{u}\cdot\vec{e}$ [/mm] eine skalare Funktion ist und vereinfachen die Schreibweise mit der Definition [mm] $\varphi [/mm] := [mm] \vec{u}\cdot\vec{e}$:
[/mm]
[mm] $\nabla\cdot(\rho\vec{u})\varphi+\rho(\vec{u}\cdot\nabla)\varphi [/mm] = [mm] \nabla\cdot(\varphi\rho\vec{u})$
[/mm]
Es reicht offenbar diese Gleichung für beispielsweise den [mm] $\partial_x$- [/mm] Summanden zu prüfen:
Also, [mm] $\partial_x(\varphi\rho u_x) [/mm] = [mm] (\partial_x\varphi)\rho u_x [/mm] + [mm] \varphi(\partial_x\rho) u_x+ \varphi\rho (\partial_x u_x) [/mm] = [mm] \ldots$. [/mm] Das sollte nicht schwer sein.
Gruß mathfunnel
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