umgekehrte Dreiecksungleichung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | f(x) = [mm] x^2 [/mm] -3x+7 x in [-3, -2]
Gesucht: M, m mit m [mm] \le \left| f(x) \right| \le [/mm] M |
Hallo,
Ich habe die Lösung dieser Aufgabe vor mir liegen, allerdings verstehe ich nur den Anfang der umgekehrten Dreiecksungleichung nicht so ganz. Mir gehts nur um diese eine kleine Frage, die Aufgabe genau zu lösen ist nicht das Problem.
Die umgekehrte Dreiecksungleichung lautet ja:
[mm] \left| x+y \right| \ge \left| \left| x \right| - \left| y \right| \right| [/mm]
Nach meiner Logik würde ich die Funktion aus der Aufgabe wie folgt in die umgekehrte Dreiecksungleichung einsetzen:
[mm] \left| x^2 -3x+7 \right| \ge \left| \left| x^2 \right| - \left| 3x \right| - \left| 7 \right| \right| [/mm]
Dies ist aber offensichtlich falsch, denn in der Lösung wird die Funktion so eingesetzt:
[mm] \left| x^2 -3x+7 \right| \ge \left| \left| x^2 +7 \right| - \left| 3x \right| \right| [/mm]
Ich verstehe nicht, wieso die [mm] x^2 [/mm] + 7 im selben Betragsstrich stecken. Muss nicht jeder Summand einzeln subtrahiert werden? Also so wie ich es oben (falsch) gemacht habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mo 05.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> f(x) = [mm]x^2[/mm] -3x+7 x in [-3, -2]
> Gesucht: M, m mit m [mm]\le \left| f(x) \right| \le[/mm] M
>
> Hallo,
>
> Ich habe die Lösung dieser Aufgabe vor mir liegen,
> allerdings verstehe ich nur den Anfang der umgekehrten
> Dreiecksungleichung nicht so ganz. Mir gehts nur um diese
> eine kleine Frage, die Aufgabe genau zu lösen ist nicht
> das Problem.
>
> Die umgekehrte Dreiecksungleichung lautet ja:
> [mm]\left| x+y \right| \ge \left| \left| x \right| - \left| y \right| \right|[/mm]
>
> Nach meiner Logik würde ich die Funktion aus der Aufgabe
> wie folgt in die umgekehrte Dreiecksungleichung einsetzen:
>
> [mm]\left| x^2 -3x+7 \right| \ge \left| \left| x^2 \right| - \left| 3x \right| - \left| 7 \right| \right|[/mm]
Nein, diese Dreiecksungleichung bezieht sich auf zwei Terme; rechts steht die Differenz zweier Beträge, wie kannst du also auf drei Terme auf der rechten Seite kommen?
>
>
> Dies ist aber offensichtlich falsch, denn in der Lösung
> wird die Funktion so eingesetzt:
>
> [mm]\left| x^2 -3x+7 \right| \ge \left| \left| x^2 +7 \right| - \left| 3x \right| \right|[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, wieso die [mm]x^2 + 7[/mm] im selben
> Betragsstrich stecken. Muss nicht jeder Summand einzeln
> subtrahiert werden? Also so wie ich es oben (falsch)
> gemacht habe?
Nein. Das steht nicht in der Ungleichung. Da steht eine Aussage über den Betrag einer Differenz zweier Größen. Du musst also [mm] $x^2 [/mm] -3x+7$ als Differenz zweier Terme schreiben. Da gibt es natürlich mehrere Möglichkeiten
[mm] |x^2 -3x+7| = |(x^2-3x) - (-7)| \ge \bigl||x^2-3x|-|-7|\bigr| [/mm]
oder
[mm] |x^2 -3x+7| = |(x^2+7) - (3x)| \ge \bigl||x^2+7| - |3x|\bigr| [/mm]
oder auch
[mm] |x^2 -3x+7| = |(x^2) - (3x-7)| \ge \bigl||x^2| - |3x-7|\bigr| [/mm] .
Alle drei Ungleichungen sind korrekte Ableitungen aus der Dreiecksungleichung. Welche davon für deine Aufgabe am besten geeignet ist, ist eine andere Frage.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo rainerS,
Jetzt habe ich es verstanden.
Aber wie bekomme ich denn raus, welche Ableitung aus der Dreiecksungleichung am günstigsten für die jeweile Aufgabe wäre?
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Hallo Jack,
> Aber wie bekomme ich denn raus, welche Ableitung aus der
> Dreiecksungleichung am günstigsten für die jeweile
> Aufgabe wäre?
Da gibts kein wirkliches Patentrezept.
Bei der vorliegende Aufgabe ist es aber einfach, unter den drei möglichen Aufteilungen zu wählen:
[mm] f(x)=x^2-3x+7 [/mm] war gegeben.
[mm] (x^2-3x)+7 [/mm] wäre keine geschickte Aufteilung. Da müsste man ja vielleicht noch überlegen, wann die Klammer >0 oder <0 ist, und vor allem, ob vielleicht eine Nullstelle im zu untersuchenden Bereich [-3,-2] liegt. Und ist [mm] x^2-3x [/mm] in diesem Bereich eigentlich monoton fallend oder steigend und ist das eigentlich wichtig?
[mm] x^2+(-3x+7) [/mm] ist aus dem gleichen Grund nicht so praktisch. Hier hat die Klammer sogar tatsächlich eine Nullstelle in [-3,-2].
[mm] (x^2+7)-3x [/mm] wirft keins dieser Probleme auf. -3x hat ohne jedes Rechnen eine Nullstelle bei Null, [mm] x^2+7 [/mm] überhaupt keine. Hier kann Deine Form der Dreiecksungleichung weiterhelfen -
- denn um nichts anderes geht es. Man könnte ja sonst mit zahlreichen anderen Mitteln untersuchen, was eigentlich im betrachteten Bereich der maximale und minimale Wert ist und so m,M bestimmen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Alles klar, danke ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:04 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> f(x) = [mm]x^2[/mm] -3x+7 x in [-3, -2]
> Gesucht: M, m mit m [mm]\le \left| f(x) \right| \le[/mm] M
>
> Hallo,
>
> Ich habe die Lösung dieser Aufgabe vor mir liegen,
> allerdings verstehe ich nur den Anfang der umgekehrten
> Dreiecksungleichung nicht so ganz. Mir gehts nur um diese
> eine kleine Frage, die Aufgabe genau zu lösen ist nicht
> das Problem.
>
> Die umgekehrte Dreiecksungleichung lautet ja:
> [mm]\left| x+y \right| \ge \left| \left| x \right| - \left| y \right| \right|[/mm]
>
> Nach meiner Logik würde ich die Funktion aus der Aufgabe
> wie folgt in die umgekehrte Dreiecksungleichung einsetzen:
>
> [mm]\left| x^2 -3x+7 \right| \ge \left| \left| x^2 \right| - \left| 3x \right| - \left| 7 \right| \right|[/mm]
>
>
> Dies ist aber offensichtlich falsch, denn in der Lösung
> wird die Funktion so eingesetzt:
>
> [mm]\left| x^2 -3x+7 \right| \ge \left| \left| x^2 +7 \right| - \left| 3x \right| \right|[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, wieso die [mm]x^2[/mm] + 7 im selben
> Betragsstrich stecken. Muss nicht jeder Summand einzeln
> subtrahiert werden? Also so wie ich es oben (falsch)
> gemacht habe?
Warum macht man sich für die Bestimmung von m die Mühe mit der umgekehrten Dreiecksungl. ???
Nimm doch m=0 oder m=-4711. Jedes m [mm] \le [/mm] 0 tuts !
FRED
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