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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Di 03.04.2007 | | Autor: | matthes |
folgende fkt:
f(x) = (x-1) * ln (x)
Umkehrfkt:
x = (y-1) * ln (y)
wie formt man diese Fkt nach y um?
ich komme bis
[mm] y^{y-1}= e^{x}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo matthes,
ich fürchte, deine Funktion [mm] $f:\IR^+\rightarrow \IR [/mm] : [mm] x\mapsto [/mm] (x-1)ln(x)$
besitzt keine Umkehrfunktion, zumindest nicht auf [mm] \IR^+, [/mm] wo sie definiert ist,
denn sie ist nicht injektiv, da der Funktionswert $f(x)=ln(2)$ zweimal angenommen wird, nämlich für [mm] $x_1=2$ [/mm] und für [mm] $x_2\approx [/mm] 0,3463233622$
Aber selbst wenn es eine UKF gäbe, so könnte man sie wohl nicht angeben, da sich die Gleichung $x=(y-1)ln(y)$ algebraisch nicht nach $y$ auflösen lässt
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
du könntest wohl zeigen, dass $f(x)=(x-1)ln(x)$ auf dem Intervall [mm] $I=[1,\infty)$
[/mm]
eine UKF besitzt.
Dazu müsstest du zeigen, dass die Funktion auf dem Intervall $I$ streng monoton (wachsend) ist.
Aber konkret angeben kannst du die UKF von [mm] f_{|I} [/mm] trotzdem nicht
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mi 04.04.2007 | | Autor: | matthes |
ok...vielen dank...
und wie komme ich an die ableitung der ukf in diesem intervall? (das war die eigentliche aufgabe)
bzw. vlt doch einfacher:
Aufgabe:
begründen sie dass f im intervall ]0;1] umkehrbar ist. geben sie d und w der ukf g an.
(hab ich alles)
bestimmen sie [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0}g'(x)
[/mm]
n -> 0+
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Hallo matthes,
dass f auf (0;1] eine UKF besitzt, kannst du zeigen, indem du zeigst, dass f auf diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Da f außerdem stetig ist, muss die UKF auf diesem Intervall existieren.
Zur anderen Aufgabe: Es gibt da so eine Formel für die Ableitung der UKF:
[mm] f^{-1}'(y)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}
[/mm]
Kommste damit weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Do 05.04.2007 | | Autor: | matthes |
also damit komme ich nicht weiter, da ich ja die ukf nicht habe, oder wie komme ich sonst weiter?
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Hallo matthes!
Wenn Du zeigst, dass Deine Funktion im gegebenen Intervall (streng) monoton steigend oder (streng) monoton fallend ist, hast Du automatisch nachgewiesen, dass Deine Funktion dort auch umkehrbar ist.
Dafür muss Dir die entprechende Umkehrfunktion noch gar nicht bekannt sein.
Gruß vom
Roadrunner
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