unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 23.11.2010 | | Autor: | emulb |
| Aufgabe | Es seien [mm] a_{1},...,a_{m} \in \IR^n [/mm] und es sei [mm] b_{k} [/mm] = [mm] \summe_{\nu=1}^{k}a\nu [/mm] für k= 1,...,m.
Zeige: Die Vektoren [mm] a_{1},...,a_{m} [/mm] sind genau dann linear unabhängig, wenn die Vektoren [mm] b_{1},...,b_{m} [/mm] linear unabhängig sind. |
soll ich es als zeilen und spaltenvektor darstellen und dann die abhängigkeit testen? oder irgendwie gleichsetzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Di 23.11.2010 | | Autor: | ilfairy |
Hallo emulb!
Ich hab eine Frage zu deiner Summe.
Meintest du:
[mm]\sum_{v=1}^{k}a*v[/mm]
oder
[mm]\sum_{v=1}^{k}a_v[/mm]
Schönen Abend noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Di 23.11.2010 | | Autor: | emulb |
das zweite
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Do 25.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Es seien [mm]a_{1},...,a_{m} \in \IR^n[/mm] und es sei [mm]b_{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{\nu=1}^{k}a_\nu[/mm] für k= 1,...,m.
Die Aufgabenstellung korrekt abzutippen bzw. nachträglich zu verbessern, erhöht die rechtzeitige Antwortwahrscheinlichkeit.
> Zeige: Die Vektoren [mm]a_{1},...,a_{m}[/mm] sind genau dann linear
> unabhängig, wenn die Vektoren [mm]b_{1},...,b_{m}[/mm] linear
> unabhängig sind.
> soll ich es als zeilen und spaltenvektor darstellen und
> dann die abhängigkeit testen? oder irgendwie gleichsetzen?
Die Vektoren [mm] $v_1,\ldots,v_m$ [/mm] sind linear unabhängig genau dann, wenn die folgende Vektorgleichung/das zugrundeliegende Gleichungssystem nur eine einzige Lösung hat: [mm] $\lambda_1 v_1+\ldots+\lambda_m v_m=0$.
[/mm]
Für die [mm] "$\Rightarrow$"-Richtung [/mm] des Beweises nimm also die Vektorgleichung [mm] $\lambda_1 b_1+\ldots+\lambda_m b_m=0$ [/mm] her, setze die Definitionen der [mm] $b_\nu$ [/mm] ein und forme die Vektorgleichung zu einer Linearkombination der [mm] $a_i$ [/mm] um, von denen du ja voraussetzt darfst, dass sie linear unabhängig sind und deswegen ihre Koeffizienten Null sein müssen. Das liefert dir ein lineare Gleichungssystem in den [mm] $\lambda_i$, [/mm] dass du eindeutig lösen kannst.
Für die [mm] "$\Leftarrow$"-Richtung [/mm] stelle zunächst jeden Vektor [mm] $a_i$ [/mm] mit Hilfe der [mm] $b_\nu$ [/mm] dar; es gilt ja:
[mm] $b_1=a_1$ $\Rightarrow\ a_1=b_1$
[/mm]
[mm] $b_2=a_1+a_2$ $\Rightarrow\ a_2=b_2-a_1=b_2-b_1$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
Jetzt kannst du lineare Unabhängigkeit der [mm] $a_i$ [/mm] genauso zeigen wie in der [mm] "$\Rightarrow$"-Richtung.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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