unbedingte konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo
ich habe ein verstaendnisproblem: in meinem skript steht,:
"Sei I eine abzaehlbare Indexmenge. Konvergiert
[mm] \summe_{i \in \IN}{}a_b(i), [/mm] mit [mm] a_b(i) \in \IR [/mm] (i [mm] \in \IN),
[/mm]
in [mm] \IR [/mm] fuer jede beliebige Bijektion b: [mm] \IN \to [/mm] I zum selben Reihenwert a, so konvergiert die Reihe unbedingt in [mm] \IR."
[/mm]
meine frage: koennt ihr mir mal ein beispiel fuir eine konvergente reihe geben, die NICHT auch unbedingt konvergent ist? verstehe nicht wie sowas existieren koennte und was dieser begriff der unbedingten konvergenz soll...
danke,
martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mo 11.06.2007 | | Autor: | martzo |
Hi Martin,
ein klassisches Beispiel ist
[mm] $\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac [/mm] 1k.$
Diese Reihe konvergiert gegen log 2, ist aber offenbar nicht absolut-konvergent, d.h. die Reihe der Beträge der Glieder konvergiert nicht (denn das ist ja gerade die harmonische Reihe). Nach dem Riemannschen Umordnungssatz gibt es deshalb für jedes [mm] $s\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$ [/mm] eine Umordnung der Reihe, die gegen $s$ konvergiert. Für [mm] $s=\infty$ [/mm] bedeutet das Divergenz. Wie eine solche Umordnung explizit konstruiert wird, kannst Du für den Fall [mm] $s\in\mathbb [/mm] R$ bei Wikipedia unter "Riemannscher Umordnungssatz" nachlesen.
Beste Grüße
Martzo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Mo 11.06.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Ah danke! Das macht Sinn :)
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Hallo
nochmal eine Frage zu folgendem Satz:
"Sei [mm] (I_k [/mm] | k [mm] \in [/mm] K) eine Zerlegung der abzaehlbaren Indexmenge I. Konvergiert die Reihe [mm] \summe_{i \in I}{} a_i [/mm] absolut in [mm] \IR, [/mm] so konvergiert jede der Reihen [mm] \summe_{I_k}{} a_i [/mm] (k [mm] \in [/mm] K), sowie auch die Reihe [mm] \summe_{k \in K}{} (\summe_{i \in I_k} a_i) [/mm] unbedingt in [mm] \IR, [/mm] wobei die letztere fuer jede Zerlegung von I denselben Reihenwert hat."
Meine Frage: [mm] \summe_{k \in K}{} (\summe_{i \in I_k} a_i) [/mm] hat dann auch wieder den gleichen Reihenwert wie die Ursprungsreihe [mm] \summe_{i \in I}{} a_i; [/mm] sehe ich das richtig?
Danke,
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mo 11.06.2007 | | Autor: | martzo |
Klar! Schließlich ist das auch nur wieder eine Umordnung der ursprünglichen Reihe. Absolut konvergente Reihen kannst Du beliebig umordnen, ohne dass sich an ihrem Konvergenzverhalten etwas ändert.
Viele Grüße,
Martzo
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