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unbekannte Umformung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 So 29.07.2012
Autor: Lovella

Aufgabe
Hey Leute! Es ist die Funktion [mm] $\IR^3 \to \IR f(x)=2x_1^2+x_2^2+2x_3^2-x_1x_2+2x_1x_3 [/mm] $ gegeben

und ich soll, falls möglich, [mm] \overline x\in \IR [/mm] bestimmen mit $ [mm] f(\overline [/mm] x)=min f(x) $.

In der Lösung wurde $ [mm] 2x_1^2+x_2^2+2x_3^2-x_1x_2+2x_1x_3 [/mm] $ zu

$ [mm] \langle \pmat{ 2 & -0,5 & 1 \\ -0,5 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 }x, [/mm] x [mm] \rangle [/mm] $ umgeformt, ich hab aber keine Ahnung wie der Prof das gemacht hat....

$ [mm] \langle [/mm] Ax, x [mm] \rangle [/mm] = x^TA^Tx $ das weiß ich, aber das hlft mir nicht weiter...

Könnt ihr mir helfen?

        
Bezug
unbekannte Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 So 29.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Lovella,

> Hey Leute! Es ist die Funktion [mm]\IR^3 \to \IR f(x)=2x_1^2+x_2^2+2x_3^2-x_1x_2+2x_1x_3[/mm]
> gegeben
>
> und ich soll, falls möglich, [mm]\overline x\in \IR[/mm] bestimmen
> mit [mm]f(\overline x)=min f(x) [/mm].
>  In der Lösung wurde
> [mm]2x_1^2+x_2^2+2x_3^2-x_1x_2+2x_1x_3[/mm] zu
>  
> [mm]\langle \pmat{ 2 & -0,5 & 1 \\ -0,5 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 }x, x \rangle[/mm]
> umgeformt, ich hab aber keine Ahnung wie der Prof das
> gemacht hat....
>  
> [mm]\langle Ax, x \rangle = x^TA^Tx[/mm] das weiß ich, aber das
> hlft mir nicht weiter...
>  
> Könnt ihr mir helfen?


Die allgemeine quadratische Gleichung in 3 Variaben schreibt sich so:

[mm]a_{11}*x_{1}^{2}+2*a_{12}*x_{1}*x_{2}+2*a_{13}*x_{1}*x_{3}+a_{22}*x_{2}^{2}+2*a_{23}*x_{2}*x_{3}+a_{33}*x_{3}^{2}[/mm]

Das kann auch in Matrizenschreibweise geschrieben werden: [mm]x^{T}Ax[/mm]

,wobei

[mm]x=\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]

[mm]A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}}[/mm]

bedeuten.


Gruss
MathePower

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unbekannte Umformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 So 29.07.2012
Autor: Lovella

wow vielen Dank!

Gibt es so etwas auch für eine allgemeine Gleichung n'ten Grades?

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Bezug
unbekannte Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 So 29.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Lovella,

> wow vielen Dank!
>  
> Gibt es so etwas auch für eine allgemeine Gleichung n'ten
> Grades?


Leider nein.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
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unbekannte Umformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 So 29.07.2012
Autor: Lovella

:-D also muss ich in der Klausur wohl mit keinen fieseren Funktionen rechnen, hoffe ich doch.

Danach wird die positive Definitheit bestimmt. Ich weiß nicht warum das gemacht wird. Das macht man doch normalerweise bei der Ableitung?

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Bezug
unbekannte Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 So 29.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Lovella,

> :-D also muss ich in der Klausur wohl mit keinen fieseren
> Funktionen rechnen, hoffe ich doch.
>  
> Danach wird die positive Definitheit bestimmt. Ich weiß
> nicht warum das gemacht wird. Das macht man doch
> normalerweise bei der Ableitung?


Nicht das ich wüßte.

Bei einer allgemeinen quadratischen Gleichung,
kannst Du auch die quadratische Ergänzung benutzen,
um die positive Definitheit festzustellen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
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unbekannte Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:17 So 29.07.2012
Autor: Lovella

okay gut! Vielen Dank!

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unbekannte Umformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:24 Mo 30.07.2012
Autor: Lovella

Tut mir leid, ich habe doch noch eine Frage dazu...

Wir haben aufgeschrieben, dass man quadratische Funktionen $ F: [mm] \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} [/mm] $ ohne konstanten Term auf die Form $ [mm] F(x)=\frac12\langle Ax,x\rangle [/mm] - [mm] \langle b,x\rangle [/mm] $ bringen kann.

Aber das ist doch nicht das gleiche wie $ F(x)=x^TAx+2b^Tx $ wie es bei es u.a. bei Wikipedia, Artikel "Quadrik" steht...

zu mal $ [mm] \langle [/mm] Ax, x [mm] \rangle [/mm] = x^TA^Tx $ und nicht $ [mm] \langle [/mm] Ax, x [mm] \rangle [/mm] = x^TAx $ oder doch?

oder etwa doch und ich stehe auf dem Schlauch? [weisswerd]

Bezug
                        
Bezug
unbekannte Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Mo 30.07.2012
Autor: angela.h.b.


> Tut mir leid, ich habe doch noch eine Frage dazu...
>  
> Wir haben aufgeschrieben, dass man quadratische Funktionen
> [mm]F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/mm] ohne konstanten Term
> auf die Form [mm]F(x)=\frac12\langle Ax,x\rangle - \langle b,x\rangle[/mm]
> bringen kann.

Hallo,

sicher stand noch dabei, daß die Matrix A symmetrisch ist.

>
> Aber das ist doch nicht das gleiche wie [mm]F(x)=x^TAx+2b^Tx[/mm]
> wie es bei es u.a. bei Wikipedia, Artikel "Quadrik"
> steht...

Die Matrix A und der Vektor b in wikipedia sind andere als in Deinem Aufschrieb.

Geben wir den wikipediaobjekten mal zur Unterschiedung einen Strich, sagen also F(x)=x^TA'x+2b'^Tx, so stellen wir fest:

[mm] $F(x)=\frac12\langle Ax,x\rangle [/mm] - [mm] \langle b,x\rangle$ [/mm]

[mm] =\frac12x^TA^Tx-b^Tx [/mm]
[mm] =\frac12x^TAx-b^Tx [/mm]
[mm] =x^T(\frac12A)x+2(-\frac12b)^Tx, [/mm]

mit [mm] A'=\frac12A, b'=-\frac12 [/mm] paßt also alles.


>  
> zu mal [mm]\langle Ax, x \rangle = x^TA^Tx[/mm] und nicht [mm]\langle Ax, x \rangle = x^TAx[/mm]
> oder doch?

Bedenke die von Dir verschwiegene Symmetrie.

LG Angela

>  
> oder etwa doch und ich stehe auf dem Schlauch? [weisswerd]


Bezug
                                
Bezug
unbekannte Umformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 Mo 30.07.2012
Autor: Lovella

achjaa... natürlich! A symmetrisch heißt ja $ [mm] A^T=A [/mm] $. Dann hat sich also alles aufgeklärt! Danke dafür!

Bezug
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