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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Stammfunktion und vereinfachen Sie das Ergebnis!!
a) [mm] \integral{3x(x-1)\wurzel{2x^3-3x^2}dx}
[/mm]
b) [mm] \integral{\bruch{x^2+2x+3}{x^3+4x^2+x-6}dx}
[/mm]
c) [mm] \integral{xarccot2x dx} [/mm] |
Halli Hallo!!
Kann mir hier jemand vielleicht weiterhelfen? Die Integrale sehen nicht wirklich freundlich aus und ich fürchte mich ein wenig davor. ^__^ Vielleicht hat jemand eine Idee, wie an solche Integrale ran gehen soll.
Schon mal danke.
LG Hiromi-chan
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Bei a) gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Die ich als erstes gemacht hätte:
-Klammere in der Wurzel [mm] x^{2} [/mm] aus. Dann kannst du auch die Wurzel auf [mm] x^{2} [/mm] anwenden. Es bleibt ein linearer Ausdruck in der Wurzel, der substituiert werden sollte. Dann kannst du alles ausklammern  und integrieren.
2. Praktischer ist es, du substituierst gleich den ganzen Term unter der Wurzel. Du wirst dich wundern, was übrig bleibt.
Allgemein dazu: Bei solchen Aufgaben mit Wurzel muss wirklich sehr oft Substitution angewandt werden. Manchmal muss der ganze Term unter der Wurzel substituiert werden, wie bei dieser Aufgabe. Aber es gibt auch Fälle, wo man nur einen Teil substituiert, wie z.B. hier:
[mm] \integral{\wurzel{1-x^{2}}dx}
[/mm]
Hier substituiert man x = sin(u) [mm] \gdw [/mm] arcsin(x)=u. Was raus kommt, kannst du ja mal überprüfen
Zu b)
Hier muss zunächst Partialbruchzerlegung angewandt werden.
D.h. du suchst zunächst Nullstellen des Nenners. Hier ist das: 1, -2 und -3.
Wir können also auch so schreiben:
[mm] \integral{\bruch{x^{2}+2x+3}{x^{3}+4*x^{2}+x-6} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{x^{2}+2x+3}{(x-1)*(x+2)*(x+3)} dx}
[/mm]
Nun wendet man folgende Überlegung bei der Zerlegung an: Wenn der Nenner aus Faktoren besteht, so kann man sicher auch schreiben:
[mm] \bruch{x^{2}+2x+3}{(x-1)*(x+2)*(x+3)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2}+\bruch{C}{x+3}.
[/mm]
Allerdings kennen wir die Zähler nicht. Du erhältst sie durch Koeffizientenvergleich. Du rechnest also mal den linken Nenner:
[mm] \bruch{x^{2}+2x+3}{(x-1)*(x+2)*(x+3)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2}+\bruch{C}{x+3}
[/mm]
[mm]\gdw x^{2}+2x+3 = A*(x+2)*(x+3)+B*(x-1)*(x+3)+C*(x-1)*(x+2)[/mm]
Nun stellst du die rechte Seite folgendermaßen um:
[mm]\gdw x^{2}+2x+3 = A*(x^{2}+5x+6)+B*(x^{2}+2x-3)+C*(x^{2}+x-2) = x^{2}*(A+B+C) + x*(5A+2B+C) + 1*(6A-3B-2C[/mm]
Durch Vergleichen der rechten mit der linken Seite erhältst du das Gleichungssystem:
1 = A+B+C
2=5A+2B+C
3=6A-3B-2C
Das gilt es nun zu lösen, und dann kennst du A,B,C, kannst den Bruch im Integral umschreiben und die Teilbrüche ganz einfach mit [mm] \ln(x) [/mm] integrieren.
So macht man es bei solcher Art von Integralen immer. Man wendet vielleicht nicht immer Koeffizientenvergleich an, weil der lange dauert, aber damit klappt es sicher.
Zu c)
Winkelfunktionen wie auch arccot() sollten zunächst immer "rein" vorliegen, das heißt ohne Veränderung des Arguments. Wir müssen also zunächst s = 2x substituieren. Klammere nun die Konstanten aus dem Integral aus.
Danach empfiehlt sich (wie auch oft bei Winkelfunktionen ) Partielle Integration.
Verwende x als u' und arccot(x) als v.
Die Ableitung von v = arccot(x) ist
v' = arccot'(x) = [mm] -\bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
Bei dem Integral, dass dann als zweiter Summand der Partiellen Integration entsteht, solltest du zunächst Polynomdivision anwenden.
Dann ist es ganz einfach...
(wenn man weiß, dass die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] der [mm] \arctan(x) [/mm] ist )
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noch mal ne genauere Frage zu a)
Ich hab das Integral erst mal bis hier hin vereinfacht:
[mm] 3\integral{x^3-x\wurzel{2x-3}dx}
[/mm]
und nun substituiere ich 2x-3 durch z und erhalte dann folgendes Integral. Die Wurzel bleibt erhalten.
[mm] 3\integral{x^3-x\wurzel{z}\bruch{dz}{2}}
[/mm]
Aber an der Stelle komme ich irgendwie nicht weiter. Jetzt müsste ich ja nach 2 Parametern integrieren.
Kann mir hier jemand weiterhelfen??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Di 25.03.2008 | | Autor: | Leni-chan |
Ich habe ne Klammer vergessen sowie noch ein Quadrat:
[mm] 3\integral{(x^3-x^2)\wurzel{z}\bruch{dz}{2}}
[/mm]
Entschuldigt den Fehler.
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Ich wollte nur nochmal diesen Rechenweg vervollständigen:
Du hast dein Integral:
[mm]3\integral{\left(x^3-x^2\right)*\wurzel{z}\bruch{dz}{2}}[/mm]
Und du hattest folgende Substitution angewandt:
[mm]z = 2x-3 \gdw x = \bruch{1}{2}*(z+3)[/mm]
Also musst du noch alle x durch diesen Term ersetzen, damit du wirklich nach z integrieren kannst:
[mm]3\integral{\left(x^3-x^2\right)*\wurzel{z}\bruch{dz}{2}} = 3\integral{\left(\left(\bruch{1}{2}*(z+3)\right)^3-\left(\bruch{1}{2}*(z+3)\right)^2\right)*\wurzel{z}\bruch{dz}{2}}[/mm]
Das müsstest du dann alles Ausklammern, könntest es aber bequen per Potenzregel lösen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Di 25.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Leni
steppenhahn hat doch gesagt besser direkt [mm] z=2x^3-3x^2!
[/mm]
dazu: solange du im Integral x und z hast ist das ganze sinnlos, also muss übebleiben im Integral f(z)dz erst dann ist die Substitution fertig . wenn man das nicht hinkriegt, ist die Subst. nicht möglich!
Gruss leduart
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So ich hab jetzt als Ergebnis für dieses Integral rausbekommen:
[mm] \bruch{1}{3}\wurzel{2x^3-3x^2}+c
[/mm]
Wäre echt nett, wenn das jemand mal kontrollieren würde. ^___^
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Di 25.03.2008 | | Autor: | Leni-chan |
meine Nerven *kopfschüttel* wieder was vergessen.
[mm] \bruch{1}{3}\wurzel{(2x^3-3x^2)^3}+c
[/mm]
So jetzt ist richtig.
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Hallo!
Leite mal deine Stammfunktion, die du herausgefunden hast, ab. Damit kannst du kontrollieren ob deine Stammfunktion riochtig ist.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Hallo nochmal! ^__^
Also bisher danke an die hilfreichen Anmerkungen, bin schon ein ganzes Stück weiter.
Doch bei Aufgabe c) kann ich noch nicht ganz nachvollziehen, wie genau ich nun aus arccot 2x die 2 herausbekomme. Kann mir da nochmal jemand weiterhelfen?
LG
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Hallo Leni,
das hat Stefan ein paar posts oberhalb doch beschrieben.
Es hilft die lineare Substitution $s:=2x$
Damit ist [mm] $x=\frac{s}{2}$, [/mm] also [mm] $\frac{dx}{ds}=\frac{1}{2}$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{1}{2} [/mm] \ ds$
Also alles ersetzen:
[mm] $\int{x\cdot{}arccot(2x) \ dx}=\int{\frac{s}{2}\cdot{}arccot(s) \ \frac{1}{2} \ ds}=\frac{1}{4}\cdot{}\int{s\cdot{}arccot(s) \ ds}$
[/mm]
Nun partielle Integration wie in Stefans post oben vorgeschlagen...
LG
schachuzipus
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