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| Aufgabe | Diese Aussage stimmt: [mm] \integral{ \bruch{1}{x} dx} [/mm] = ln |x| für [mm] x\in \IR [/mm] x [mm] \not=0
[/mm]
aber wieso stimmt auch diese:
[mm] \integral{ \bruch{1}{x} dx} [/mm] = ln (-x) für x < 0 |
Ist es denn nicht so, dass egal was im Integral für X eingesetzt wird, ob nun eine negative oder positive Zahl, das Ergebnis immer ln und betrag von x ist, wie kann es dann auf einmal auch ins negative gehen mit ln(-x) für zahlen kleiner als 0 also negative zahlen???
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> Diese Aussage stimmt: [mm]\integral{ \bruch{1}{x} dx}[/mm] = ln |x|
> für [mm]x\in \IR[/mm] x [mm]\not=0[/mm]
>
> aber wieso stimmt auch diese:
>
> [mm]\integral{ \bruch{1}{x} dx}[/mm] = ln (-x) für x < 0
Hallo,
hast Du Dir schonmal überlegt, was |x| bedeutet?
Es ist
[mm] |x|:=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{ } \\ -x, & \mbox{für } x<0 \mbox{ }\end{cases} [/mm] ,
und damit wird
[mm]\integral{ \bruch{1}{x} dx}[/mm] = ln |x| für für [mm]x\in \IR[/mm] x [mm]\not=0[/mm]
zu
[mm] \integral{\bruch{1}{x} dx}=\begin{cases} \ln x, & \mbox{für } x> 0 \mbox{ } \\ \ln(-x), & \mbox{für } x<0 \mbox{ }\end{cases}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ist es denn nicht so, dass dieses |x| bedeutet, dass egal was rauskommt, ob nun eine negative oder positive Zahl, das Ergebnis immer positiv ist?
Also als Beispiel:
$ [mm] \integral{ \bruch{1}{x} dx} [/mm] $ = ln |x|
das sagt doch aus, dass alle zahlen, die ich im integral für x einsetze, auch wenn sie negativ sind am ende ein positives ln |x| ergeben, durch das |x|.
wie kann es jetzt sien, dass wenn ich eine negative zahl für x einsetze was bei dem zweiten beispiel der fall ist das ergebnis nun auch negativ sein kann mit ln (-x). das ist für mich irgendwie ein widerspurch oder bin ich auf der falschen autobahn?
lg
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Für x<0 ist doch -x> 0
FRED
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fred danke für die verwirrung... heee? was meinst du
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Z.B.: $-(-5) = 5$
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ok aber was hat es nun mit meiner frage zu tun:
ich verstehe nicht wieso das eine mal das x in betragstrichen steht also egal was man für x im integral einsetzt ob eine negative oder positive zahl, bekommt man eine positive raus, wegen den x im betragstrichen. aber auf der anderen seite widerrum beim zweiten beispiel, setzt man für x kleiner null ja nur negative zahlen ein und es kommt ein negatives egrebnis mit ln(-x) . das ist doch ein widerspruch in sich oder nicht?
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> ok aber was hat es nun mit meiner frage zu tun:
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> ich verstehe nicht wieso das eine mal das x in
> betragstrichen steht also egal was man für x im integral
> einsetzt ob eine negative oder positive zahl, bekommt man
> eine positive raus, wegen den x im betragstrichen. aber auf
> der anderen seite widerrum beim zweiten beispiel, setzt man
> für x kleiner null ja nur negative zahlen ein und es kommt
> ein negatives egrebnis mit ln(-x) . das ist doch ein
> widerspruch in sich oder nicht?
Hallo,
ich weiß nicht genau, ob ich Dein Problem verstehe...
Ich führe mal einen Strauß Anmerkungen ins Feld:
1. Es ist ja so, daß wir mit [mm] \ln(-5) [/mm] von vornherein schon überhaupt nichts anfangen könnten, da der Logarithmus nur für x>0 definiert ist.
2. Es ist ln(x) für x>0 nicht immer positiv. Z.B. ist ln(5) positiv, [mm] ln(\bruch{1}{5}) [/mm] hingegen negativ.
3. Es ist ln(-x) für x<0 nicht immer negativ. Für x=-5 hat man ln(-(-5))=ln(5), und das ist positiv, für [mm] x=-\bruch{1}{5} [/mm] hat man [mm] ln(-(\bruch{1}{5}))=ln(\bruch{1}{5}), [/mm] und das ist negativ.
4. Wir sind uns einig, daß für [mm] f_+(x):=\bruch{1}{x} [/mm] (für positive x) [mm] F_{+}(x):=ln(x) [/mm] eine Stammfunktion ist, daß also [mm] F_+'(x)=\bruch{1}{x} [/mm] richtig ist.
Für negative x taugt diese Funktion [mm] F_{+} [/mm] überhaupt nicht, denn dafür wäre sie ja gar nicht definiert.
Nun suchen wir also noch eine Funktion, die abgeleitet die Funktion [mm] f_-(x):=\bruch{1}{x} [/mm] für negative x ergibt.
Mit [mm] F_{-}(x):=ln(-x) [/mm] werden wir fündig:
Ableiten nach der Kettenregel ergibt [mm] F'_{-}(x)=\bruch{1}{-x}*(-1)=\bruch{1}{x}.
[/mm]
Wenn wir die beiden Ergebnisse zusammenführen, dann haben wir
Die Stammfunktion F von [mm] f(x)=\bruch{1}{x}, (x\not=0) [/mm] ist
[mm] F(x):=\begin{cases} ln(x), & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \\ ln(-x), & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases},
[/mm]
und verkürzt kann man das schreiben als F(x)=ln(|x|).
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Di 12.05.2009 | | Autor: | Danielt23 |
Danke, habt mir wirklich geholfen. Danke Angie :)
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