unbestimmte Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Fr 01.02.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgende unbestimmte Integrale
iv. [mm] \integral {x^{2}*e^{-x}^{2} dx} [/mm] |
Hey Leute,
ich kriegs nicht hin. Kann es jemand erklaeren?!
Soweit bin ich schon:
Mit partieller Integration
[mm] u'=x^{2}, [/mm] u=1/3 [mm] x^{3}, v=e^{-x}^{2}, v'=e^{-x}^{2}*-2x
[/mm]
[mm] \integral {x^{2}*e^{-x}^{2} dx}=e^{-x}^{2}*1/3 x^{3}-\integral {e^{-x}^{2}*-2x*1/3 x^{3} dx}
[/mm]
nochmalige partielle Integration ergibt
[mm] =e^{-x}^{2}*1/3 x^{3}-((-2/3)*(e^{-x}^{2})*4x^{3}-\integral {e^{-x}^{2}*-2x*4x^{3} dx})
[/mm]
Ich sehe da auch nicht wirklich ein Ende in Sicht. Gibt es da einen Trick? Oder habe ich einen Fehler eingebaut?
Silfide
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> Bestimmen Sie folgende unbestimmte Integrale
>
> iv. [mm]\integral {x^{2}*e^{-x}^{2} dx}[/mm]
> Hey Leute,
>
> ich kriegs nicht hin. Kann es jemand erklaeren?!
> Soweit bin ich schon:
>
> Mit partieller Integration
> [mm]u'=x^{2},[/mm] u=1/3 [mm]x^{3}, v=e^{-x}^{2}, v'=e^{-x}^{2}*-2x[/mm]
>
> [mm]\integral {x^{2}*e^{-x}^{2} dx}=e^{-x}^{2}*1/3 x^{3}-\integral {e^{-x}^{2}*-2x*1/3 x^{3} dx}[/mm]
>
> nochmalige partielle Integration ergibt
> [mm]=e^{-x}^{2}*1/3 x^{3}-((-2/3)*(e^{-x}^{2})*4x^{3}-\integral {e^{-x}^{2}*-2x*4x^{3} dx})[/mm]
>
>
> Ich sehe da auch nicht wirklich ein Ende in Sicht. Gibt es
> da einen Trick? Oder habe ich einen Fehler eingebaut?
>
>
> Silfide
Hi Silfide,
partielle Integration führt da nicht weiter, ebenso wie
andere übliche Integrationsmethoden. Das Integral
ist nicht mit elementaren Methoden durchführbar.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 01.02.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo,
und wie kann ich dann diese Aufgabe loesen??
Silfide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Fr 01.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
EDIT:
hier stand Unsinn. Es geht tatsächlich nicht.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> zunächst muss ich hier unserem arabischen Rechenmeister
>  widersprechen. Man kann es lösen. Gehe so vor:
>
> [mm]\integral{x^2*e^{-x^2} dx}=\integral{x*x*e^{-x^2} dx}[/mm]
>
> Setze nun
>
> [mm]u'=x*e^{-x^2}[/mm]
>
> v=x
>
> dann funktioniert es über eine Kombination aus partieller
> Integration und Substitution (die brauchst du um von u'
> nach u zu kommen).
Wie integrierst du denn dann das verbleibende Integral [mm] $\int{u(x)v'(x) \ dx}$ [/mm] ?
>
>
> Gruß, Diophant
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Fr 01.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo schachuzipus,
> Hallo Diophant,
>
>
> > Hallo,
> >
> > zunächst muss ich hier unserem arabischen Rechenmeister
> > widersprechen. Man kann es lösen. Gehe so vor:
> >
> > [mm]\integral{x^2*e^{-x^2} dx}=\integral{x*x*e^{-x^2} dx}[/mm]
> >
> > Setze nun
> >
> > [mm]u'=x*e^{-x^2}[/mm]
> >
> > v=x
> >
> > dann funktioniert es über eine Kombination aus partieller
> > Integration und Substitution (die brauchst du um von u'
> > nach u zu kommen).
>
> Wie integrierst du denn dann das verbleibende Integral
> [mm]\int{u(x)v'(x) \ dx}[/mm] ?
Jo, ich habs ja dann auch gesehen. Aber Danke für den Hinweis.
Gruß, Diophant
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Hiho,
> und wie kann ich dann diese Aufgabe loesen??
gar nicht
Entweder du hast die Aufgabe hier falsch wiedergegeben, oder der Aufgabensteller hats verbockt.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Fr 01.02.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Gono, nee die steht tatsaechlich so auf den blatt.
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Hallo Silfide ,
es kommt natürlich darauf an, was man als "elementare"
Integrationen bezeichnen will.
Mathematica liefert auf diese Integration
[mm] Integrate[x^2*e^{-x^2}, [/mm] x]
das Ergebnis:
$\ [mm] -\frac{1}{2}*\ e^{-x^2}* [/mm] x + [mm] \frac{1}{4} \sqrt{\pi}*\ [/mm] Erf(x)$
Dies sieht zwar nach "geschlossener Form" aus - aber
gewöhnlicherweise zählt man die Funktion Erf mit
[mm] $\operatorname{Erf}(z) [/mm] = [mm] \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^z e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau\ [/mm] \ \ [mm] (z\in\mathbb{C})$
[/mm]
welche also selbst nur durch ein anderweitig nicht
durchführbares Integral definiert ist, eben nicht
zu den "elementaren" Funktionen.
LG , Al-Chwarizmi
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