unbestimmter Grenzwert? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe hier zwei Aufgaben die beide sehr ähnlich sind von denen ich meine, sie könnten richtig von mir gelöst sein.
a)
[mm] f(x)=\bruch{2^{x}}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}}{x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}*ln2}{2x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1^{x}*ln1}{x} \to [/mm] Die Funktion strebt im Zähler gegen 0 und im Nenner gegen Unendlich, d.h. es existiert kein Grenzwert, die Funktion divergiert.
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2^{x}}{x^{2}} \to [/mm] Die Funktion strebt im Zähler gegen 0 und im Nenner gegen positiv Unendlich, d.h. es existiert kein Grenzwert, die Funktion divergiert auch hier.
Oder ist [mm] \bruch{0}{\infty} [/mm] = 0 definiert? Ich dachte immer sobald eine Teilfolge divergiert, divergiert die ganze Folge bzw. Funktion!?
b)
[mm] f(x)=\bruch{x^{2}}{2^{x}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^{2}}{2^{x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x}{2^{x}*ln2} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{1^{x}*ln1} \to [/mm] Die Funktion strebt im Zähler gegen Unendlich und im Nenner gegen 0, d.h. es existiert kein Grenzwert, die Funktion divergiert.
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x^{2}}{2^{x}} [/mm] = [mm] \to [/mm] Die Funktion strebt im Zähler gegen positiv Unendlich und im Nenner gegen 0, d.h. es existiert kein Grenzwert, die Funktion divergiert auch hier.
Ist das also richtig was ich gemacht habe?
|
|
| |
|
Hallo,
> ich habe hier zwei Aufgaben die beide sehr ähnlich sind
> von denen ich meine, sie könnten richtig von mir gelöst
> sein.
Nicht wirklich:
>
> a)
>
> [mm]f(x)=\bruch{2^{x}}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}}{x^{2}}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}*ln2}{2x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1^{x}*ln1}{x} \to[/mm]
Das ertse Mal l'Hospital ist ja noch richtig, aber was kommt denn dann fürchterliches? 
Du musst hier die l'Hospitalsche Regel erneut anwenden, da nach dem ersten Mal immer noch ein unbestimmter Ausdruck dasteht.
> Oder ist [mm]\bruch{0}{\infty}[/mm] = 0 definiert? Ich dachte immer
Ja:
[mm]\bruch{0}{\infty}=0[/mm]
Das hat aber mit der Aufgabe a) nichts zu tun!
> b)
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^{2}}{2^{x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^{2}}{2^{x}}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x}{2^{x}*ln2}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{1^{x}*ln1} \to[/mm] Die
Hier hast du den gleichen Fehler gemacht wie bei der a). Finde den mal und benutze dann, dass die Funktion in b) der Kehrwert der aus a) ist. Von daher muss hier auch der Grenzwert Kehrwert dessen aus a) sein.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ok,
ich hoffe meine Ableitungen stimmen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}}{x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}*ln2}{2x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}*(ln2)*0,5}{2} \to [/mm] Unendlich geteilt durch 2 ist immernoch Unendlich, daher divergiert die Funktion, kein Grenzwert.
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2^{x}}{x^{2}} \to [/mm] Hier bleibe ich aber bei meiner Lösung, 0 geteilt durch Unendlich. Was nun aber ja 0 ergibt.
b)
Wenn ich hier den Kehrwert nehme, gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x^{2}}{2^{x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2x}{2^{x}*ln2} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2}{2^{x}*(ln2)*0,5} \to [/mm] 2 geteilt durch Unendlich strebt gegen 0.
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x^{2}}{2^{x}} \to [/mm] Auch hier bleibe ich aber bei meiner Lösung, Unendlich geteilt durch 0. Das ist nun aber nicht definiert, daher kein Grenzwert an dieser Stelle.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok,
>
> ich hoffe meine Ableitungen stimmen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}}{x^{2}}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}*ln2}{2x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}*(ln2)*0,5}{2} \to[/mm]
Nein, die zweite Ableitung des Zählers ist immer noch falsch. Wo nimmst du die 0.5 her? Da muss doch einfach nochmals mit ln(2) multipliziert werden.
> Unendlich geteilt durch 2 ist immernoch Unendlich, daher
> divergiert die Funktion, kein Grenzwert.
Das ist richtig, unabhängig von der falschen Ableitung.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2^{x}}{x^{2}} \to[/mm] Hier
> bleibe ich aber bei meiner Lösung, 0 geteilt durch
> Unendlich. Was nun aber ja 0 ergibt.
???
>
> b)
>
> Wenn ich hier den Kehrwert nehme, gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x^{2}}{2^{x}}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2x}{2^{x}*ln2}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2}{2^{x}*(ln2)*0,5} \to[/mm]
> 2 geteilt durch Unendlich strebt gegen 0.
Auch hioer ist der Nenner falsch abgeleitet, aber das Ergebnis stimmt.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x^{2}}{2^{x}} \to[/mm] Auch
> hier bleibe ich aber bei meiner Lösung, Unendlich geteilt
> durch 0. Das ist nun aber nicht definiert, daher kein
> Grenzwert an dieser Stelle.
Was ist das für eine neue Taktik, erst das richtige Ergebnis hinschreiben, und dann auf einem falschen beharren?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}}{x^{2}}[/mm] =
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}*ln2}{2x}[/mm] =
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2^{x}*(ln2)*0,5}{2} \to[/mm]
>
> Nein, die zweite Ableitung des Zählers ist immer noch
> falsch. Wo nimmst du die 0.5 her? Da muss doch einfach
> nochmals mit ln(2) multipliziert werden.
[mm] a^{x} [/mm] abgeleitet ergibt [mm] a^{x}*ln [/mm] a
[mm] 2^{x} \to 2^{x}*ln [/mm] 2
ln x abgeleitet ergibt [mm] \bruch{1}{x}.
[/mm]
ln 2 [mm] \to \bruch{1}{2}
[/mm]
Ist das nicht so? Ich habe das bei den Ableitungsregeln unter allg. Grundlagen stehen.
>
> > Unendlich geteilt durch 2 ist immernoch Unendlich, daher
> > divergiert die Funktion, kein Grenzwert.
>
> Das ist richtig, unabhängig von der falschen Ableitung.
>
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2^{x}}{x^{2}} \to[/mm] Hier
> > bleibe ich aber bei meiner Lösung, 0 geteilt durch
> > Unendlich. Was nun aber ja 0 ergibt.
>
> ???
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2^{x}}{x^{2}} \to \bruch{\bruch{1}{2^{\infty}}}{(-\infty)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{0}{\infty}
[/mm]
> >
> > b)
> >
> > Wenn ich hier den Kehrwert nehme, gilt:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x^{2}}{2^{x}}[/mm] =
> > [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2x}{2^{x}*ln2}[/mm] =
> > [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2}{2^{x}*(ln2)*0,5} \to[/mm]
> > 2 geteilt durch Unendlich strebt gegen 0.
>
> Auch hioer ist der Nenner falsch abgeleitet, aber das
> Ergebnis stimmt.
>
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x^{2}}{2^{x}} \to[/mm] Auch
> > hier bleibe ich aber bei meiner Lösung, Unendlich geteilt
> > durch 0. Das ist nun aber nicht definiert, daher kein
> > Grenzwert an dieser Stelle.
>
> Was ist das für eine neue Taktik, erst das richtige
> Ergebnis hinschreiben, und dann auf einem falschen
> beharren?
>
>
Die L'Hospital Regel kann man hier ja nicht anwenden (wie auch oben bei - Unendlich wo ich meine Rechnung nochmal ausgeführt habe). Die wendet man doch nur bei den Ausdrücken [mm] \bruch{0}{0} [/mm] und [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] an. Oder nicht?
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x^{2}}{2^{x}} \to \bruch{(-\infty)^{2}}{\bruch{1}{2^{\infty}}} \to \bruch{\infty}{0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
sorry: ich muss da wohl die Minuszeichen vor dem x übersehen haben.
Zu der Sache mit der Ableitung: ln(2) ist eine konstante Zahl und somit nicht von x abhängig. Das ergibt also überhaupt keinen Sinn, was du da machst und ist, wie schon gesagt falsch.
Richtig heißt es so:
[mm] \left(2^x\right)''=2^x*(ln(2))^2
[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Achso,
und die zweite Ableitung erfolgt mit der Produktregel, richtig?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 So 01.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Achso,
>
> und die zweite Ableitung erfolgt mit der Produktregel,
> richtig?
>
> Danke!
>
Wovon?
[mm] g(x)=2^{x}
[/mm]
[mm] g'(x)=\ln(2)\cdot2^{x}
[/mm]
Für g''(x) brauchst du jetzt keine Produktregel [mm] \ln(2) [/mm] ist ein konstanter Faktor.
Aber das wurde dir hier schon mehrfach geschrieben.
Marius
|
|
|
|
