unbestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx} [/mm] |
HI,
ich habe probiert zu substituieren mit t:=-x
[mm] \integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx} [/mm] = [mm] -1*\integral_{}^{}{e^{t}cos(-5t)dt} [/mm] = [mm] -e^t [/mm] cos(-5t) [mm] +\integral_{}^{}{e^{t}sin(-5t)5dt} [/mm] = [mm] -e^t [/mm] cos(-5t) + [mm] e^t [/mm] sin(-5t)5 - [mm] (-25)\integral_{}^{}{e^{t}cos(-5t)dt} [/mm] <=> [mm] -26\integral_{}^{}{e^{t}cos(5t)dt} [/mm] = [mm] -e^t [/mm] cos(-5t) + [mm] e^t [/mm] sin(-5t)5 <=> [mm] \integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx} [/mm] = [mm] -\frac{1}{26} e^t(sin(-5t)5 [/mm] - cos(-5t)
=> [mm] \integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx} =-\frac{1}{26} e^{-x}(sin(5x)5 [/mm] - cos(5x) ,
jedoch kriege ich bei http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+e^(-x)cos(5x)+dx
[mm] \integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx} =-\frac{1}{26} e^{-x}(-sin(5x)5 [/mm] + cos(5x)) raus?
Wo liegt mein Fehler? Ich finde den Vorzeichenfehler einfach nicht...
Snafu
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Hallo SnafuBernd!
Ich finde Deinen Weg etwas kompliziert. Ruch partielle Integration und dem Aufschreiben von $u' \ := \ ...$ etc. solltest Du das schnell haben.
> [mm]\integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx}[/mm] = [mm]-1*\integral_{}^{}{e^{t}cos(-5t)dt}[/mm]
> = [mm]-e^t[/mm] cos(-5t) [mm]+\integral_{}^{}{e^{t}sin(-5t)5dt}[/mm]
Hier muss es im Integral hinten [mm] $\bruch{1}{-5}$ [/mm] lauten anstatt $5_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Hi,
wieso, das ist doch die inner Ableitung von cos(-5t) => -sin(-5t)(-5)?
Snafu
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Hallo,
> Hi,
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> wieso, das ist doch die inner Ableitung von cos(-5t) =>
> -sin(-5t)(-5)?
Ja, da hast du recht!
>
> Snafu
Gruß
schachuzipus
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Hallo Roadrunner,
> Hallo SnafuBernd!
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>
> Ich finde Deinen Weg etwas kompliziert. Ruch partielle
> Integration und dem Aufschreiben von [mm]u' \ := \ ...[/mm] etc.
> solltest Du das schnell haben.
>
>
>
> > [mm]\integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx}[/mm] =
> [mm]-1*\integral_{}^{}{e^{t}cos(-5t)dt}[/mm]
> > = [mm]-e^t[/mm] cos(-5t) [mm]+\integral_{}^{}{e^{t}sin(-5t)5dt}[/mm]
>
> Hier muss es im Integral hinten [mm]\bruch{1}{-5}[/mm] lauten
> anstatt [mm]5_[/mm] .
Na, stimmt das denn?
Es ist doch [mm] $\left[\cos(-5t)\right]'=-\sin(-5t)\cdot{}(-5)=\sin(-5t)\cdot{}5$, [/mm] also so wie es oben steht ...
Gruß
schachuzipus
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Fr 25.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hey,
ok stimmt die Substitution war überflüssig... jetzt kommt auch das richtige raus. Danke nochmal.
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Hallo Snafu,
> [mm]\integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx}[/mm]
> HI,
>
> ich habe probiert zu substituieren mit t:=-x
> [mm]\integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx}[/mm] =
> [mm]-1*\integral_{}^{}{e^{t}cos(-5t)dt}[/mm] = [mm]-e^t[/mm] cos(-5t)
> [mm]+\integral_{}^{}{e^{t}sin(-5t)5dt}[/mm] = [mm]-e^t[/mm] cos(-5t) + [mm]e^t[/mm]
> sin(-5t)5 - [mm](-25)\integral_{}^{}{e^{t}cos(-5t)dt}[/mm] <=>
> [mm]-26\integral_{}^{}{e^{t}cos(5t)dt}[/mm] = [mm]-e^t[/mm] cos(-5t) + [mm]e^t[/mm]
> sin(-5t)5 <=> [mm]\integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx}[/mm] =
> [mm]-\frac{1}{26} e^t(sin(-5t)5[/mm] - cos(-5t)
> => [mm]\integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx} =-\frac{1}{26} e^{-x}(sin(5x)5[/mm]
> - cos(5x) ,
>
> jedoch kriege ich bei
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+e^(-x)cos(5x)+dx
> [mm]\integral_{}^{}{e^{-x}cos(5x)dx} =-\frac{1}{26} e^{-x}(-sin(5x)5[/mm]
> + cos(5x)) raus?
>
> Wo liegt mein Fehler? Ich finde den Vorzeichenfehler
> einfach nicht...
>
> Snafu
Beachte, dass du mit deiner Substitution [mm] $\int{e^{-x}\cos(5x) \ dx}=\red{-}\int{e^t\cos(-5t) \ dt}$ [/mm] berechnen musst.
Du hast am Ende aber [mm] $\red{+}\int{e^t\cos(-5t) \ dt}$ [/mm] berechnet.
Multipliziere mit $(-1)$ und alles löst sich in Wohlgefallen auf ...
Gruß
schachuzipus
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