uneig. Integral m. Parametern < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Leider habe ich hierfür diesmal keinen Ansatz =/ Sorry..
ich hoffe ihr könnt mir trotzdem weiterhelfen.
mfg markus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Markus!
Bilde hier jeweils für die Teilfunktionen separat die Stammfunktion. Für die Integration der Teilfunktion $f(t) \ = \ 0$ erhältst Du ja jeweils $F(t) \ = \ c$ .
Diese Integrationskonstante $c_$ musst Du nun derart bestimmen, dass die Funktion $F(t)_$ an den Nahtstellen stetig ist.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
also ich hab wirklich null ahnung, aber
ich würde jetzt mal so vorgehen (für a):
[mm]F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{\bruch{1}{b-a} dt}[/mm]
[mm]F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{0 dx}=[c]_{-\infty}^{x}=x+\infty[/mm]
beim ersten integral weiss ich nicht so recht wie man diese Parameter behandelt.
mfg markus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Do 20.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also ich hab wirklich null ahnung, aber
> ich würde jetzt mal so vorgehen (für a):
>
> [mm]F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{\bruch{1}{b-a} dt}[/mm]
Das ist falsch, denn deine Funktion f(x) ist doch nur im Intervall [a,b] gleich [mm]1/(b-a)[/mm].
Du musst das Integral zerlegen in ein Integral von [mm]-\infty[/mm] bis a und von a bis x.
Im ersten Integral kannst du für f(x) einfach 0 einsetzen, dann ist dieses Teilintegral
[mm] \integral_{-\infty}^a f(x) dx = \integral_{-\infty}^a 0 \,dx = \left. C \right|_{-\infty}^a = C -C = 0[/mm]
Im zweiten Integral musst du die Fälle [mm]x\le b[/mm] und [mm]x>b[/mm] unterscheiden, im zweiten Fall musst du noch einmal zerlegen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
danke für die antwort =)
ich hab dazu gleich mal mehrere Fragen:
Wieso C-C=0? müsste man da net die Grenzen einsetzen? quasi [mm]a-\infty[/mm]
...und wieso muss ich von [mm]-\infty[/mm] bis a und dann von b bis x integrieren? müssten die grenzen net [mm]-\infty[/mm] bis a, a bis b und b bis x sein, sowie x bis [mm]\infty[/mm] (weil ja die Funktion für den gesamten Bereich [mm]\IR[/mm] definiert ist)?
aso und wie bildet man die stammfunktion von solch einem term? [mm]\bruch{1}{b-a}[/mm]
mfg markus
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Wieso C-C=0? müsste man da net die Grenzen einsetzen? quasi
> [mm]a-\infty[/mm]
Nunja, wenn da [mm] $|t|_\infty^a$ [/mm] stünde, würden die grenzen eben eingesetzt, denn t ist ja die Variable: [mm] $|t|_\infty^a=a-\infty$
[/mm]
Hier gibts kein t, sondern nur ein konstantes C, und daher kannst du da nix einsetzen, es ist [mm] $[C]_\infty^a=C-C=0$
[/mm]
> ...und wieso muss ich von [mm]-\infty[/mm] bis a und dann von b bis
> x integrieren? müssten die grenzen net [mm]-\infty[/mm] bis a, a bis
> b und b bis x sein, sowie x bis [mm]\infty[/mm] (weil ja die
> Funktion für den gesamten Bereich [mm]\IR[/mm] definiert ist)?
DAS ist richtig, du hast tatsächlich drei Teile!
>
> aso und wie bildet man die stammfunktion von solch einem
> term? [mm]\bruch{1}{b-a}[/mm]
Das ist ziemlich einfach. Dieser Term enthält ja auch wieder kein t, denn a und b sind irgendwelche Konstanten, und damit ist der ganze Bruch eine einzige Konstante. Wie integrierts du eine Konstante?
Abschließend ein Tipp: Du solltest die Funktion wirklich mal zeichen, z.B. mit a=-1, b=+1.
[mm] \int_{-\infty}^x [/mm] kannst du dir nun vorstellen, als würdest du deine Zeichnung mit einem Blatt abdecken, und dieses Blatt dann langsam nach rechts wegziehen. Wie groß ist die Flächeunter dem Graph, die du siehst, wenn der Graph bis -2, bis -1, bis 0, bis +1, bis +2 zu sehen ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Do 20.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wieso C-C=0? müsste man da net die Grenzen einsetzen? quasi
> [mm]a-\infty[/mm]
Das unbestimmte Integral ist eine Konstante C. Also ist sie an der oberen Grenze C und an der unteren Grenze C.
> ...und wieso muss ich von [mm]-\infty[/mm] bis a und dann von b bis
> x integrieren?
Das habe ich nicht gesagt, sondern dass du von [mm]-\infty[/mm] bis a und von a bis x integrieren musst. Wenn [mm]x>b[/mm] musst du nochmal zerlegen von a bis b und von b bis x. Wenn [mm]x\le b[/mm] ist, musst du das nicht.
>müssten die grenzen net [mm]-\infty[/mm] bis a, a bis
> b und b bis x sein, sowie x bis [mm]\infty[/mm] (weil ja die
> Funktion für den gesamten Bereich [mm]\IR[/mm] definiert ist)?
Aber dein Integral hat doch als obere Grenze x; warum willst du dann von x bis [mm]\infty[/mm] integrieren?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
danke ihr beiden für die antworten, aber leider steig ich noch net durch.
also grafisch gesehn müsste das ganze ein waagerechte linie ergeben, halt in abhängigkeit von der Größe von a und b von [mm]-\infty[/mm] bis x
die stamm funktion des terms [mm]\bruch{1}{b-a}[/mm] müsste [mm](\bruch{1}{b-a})*t [/mm] sein
erm rainer das mit dem x < bzw > x leuchtet mit noch net so ein....weil ich weiss ja nicht wie groß x ist.
allg. würde ich die Formel mal so aufstellen:
[mm]F(x):=\integral_{-\infty}^{a}{0 dt}+\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{b-a}dt}+\integral_{b}^{x}{0 dt }[/mm]
mfg markus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Do 20.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> allg. würde ich die Formel mal so aufstellen:
>
> [mm]F(x):=\integral_{-\infty}^{a}{0 dt}+\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{b-a}dt}+\integral_{b}^{x}{0 dt }[/mm]
Diese Formel ist richtig für [mm]x>b[/mm]. Für [mm]x\le b[/mm] ist doch deine Funktion zwischen a und x gegeben durch [mm]\bruch{1}{b-a}[/mm].
Also ist für [mm]x\le b[/mm]:
[mm] F(x) = \integral_{-\infty}^{a}{0 dt}+\integral_{a}^x{\bruch{1}{b-a}dt[/mm]
Mal dir ein Beispiel auf. Ich habe hier die Funktion und ihr Integral für das Beispiel a=2, b=4 aufgemalt, und zwar einmal für x=3:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und einmal für x=5:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
ja aber ich weiss doch nicht wie groß x ist...geschweige den a und b.
=/
mfg markus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Do 20.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Hast du denn meine Antwort ganz durchgelesen?
Ich habe dir zwei Beispiele gegeben, um dir zu zeigen, dass es einen Unterschied macht, ob [mm]x\le b[/mm] oder [mm]x >b[/mm]. Das sollte dir zeigen, wie du dein Integral aufteilen musst.
Es gibt drei Fälle:
1. [mm]x \le a[/mm]
Dann ist die Funktion im gesamten Integrationsbereich 0, das Integral ist 0.
2. [mm]a < x\le b[/mm]
Die Funktion ist Null für [mm]x
[mm]\integral_{-\infty}^x f(t) dt = \integral_a^x f(t) dt = \left.\bruch{1}{b-a} t\right|_a^x = \bruch{x-a}{b-a}[/mm]
3. [mm] b
Die Funktion ist 0 außerhalb [a,b], also ist dein Integral
[mm]\integral_{-\infty}^x f(t) dt = \integral_a^bf(t) dt = \left.\bruch{1}{b-a} t\right|_a^b = 1[/mm]
Versuche, den zweiten Teil der Aufgabe selber zu lösen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
