uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Do 11.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
| Aufgabe | Man untersuche folgende uneigentliche Integrale auf Konvergenz:
a) [mm] $ \integral_{-\infty}^{\infty} e^-^2^\left| x \right|\ [/mm] $ $ dx $ |
Guten abend,
wie gehe ich an diese Aufgabe ran?
ich würde als erstes a) integrieren und danach den Grenzwert betrachten.
nun habe ich aber das Problem, dass wenn ich richtig liegen sollte, eine Fallunterscheidung machen muss und es dann addiere.
Aber ich kriege diese Fallunterscheidung nicht hin. Ich weiß nicht, wie ich a) in zwei Splitten kann somit ich beide einzeln integrieren kann.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Do 11.12.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aladdin!
Es gilt: [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}} \ = \ \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}}[/mm]
Nun wende hier die Definition der Betragsfunktion an mit:
[mm]|x| \ := \ =\begin{cases} -x, & \textrm{für } x < 0 \\ +x, & \textrm{für } x \ge 0 \end{cases}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Do 11.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Aladdin!
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> Es gilt: [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}} \ = \ \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}}+\integral_{}^{\infty}{e^{-2*|x|} \ \mathrm{dx}}[/mm]
ich schlage vor, erstmal weiterzurechnen:
[mm] $=2*\int_0^\infty e^{-2|x|}dx=2*\int_0^\infty e^{-2x}dx$
[/mm]
Grund: Für gerade Funktionen [mm] $f\,$ [/mm] gilt (mit Substitutionsregel)
[mm] $\int_{-a}^a f(x)dx=\int_{-a}^0 f(x)dx+\int_0^a f(x)dx=\int_{-t=-a}^{-t=0} f(-t)d(-t)+\int_0^a f(x)dx=\int_{t=0}^{t=a} \underbrace{f(-t)}_{=f(t)}dt+\int_0^a f(x)dx=2*\int_0^a f(x)dx\,.$
[/mm]
(Weiterer Tipp/Hinweis: Skizze!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 11.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
Danke für deine Antwort,
eine kurze Verständnisfrage
wenn ich die Definition der Betragsfunktion anwende:
$ [mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}+\integral_{}^{\infty}{e^{-2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] $ oder?
und ist bei dem zweiten Integral die untere Grenze 0?
LG
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Do 11.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 So 14.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
Guten morgen,
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2x} \ \mathrm{dx}}+\integral_{0}^{\infty}{e^{2x} \ \mathrm{dx}} [/mm]
wenn ich nun [mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] integriere, bekomme ich [ [mm] -\bruch{1}{2}e^{-2x}] [/mm] raus.
wenn ich nun [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] integriere,
bekomme ich [ [mm] \bruch{1}{2}e^{2x}] [/mm] raus.
jetzt hätte ich ein Problem, wie setze ich die Grenzen ein, weil da steht ja unendlich?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 So 14.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Guten morgen,
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> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{e^{-2x} \ \mathrm{dx}}+\integral_{0}^{\infty}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}[/mm]
Es ist doch
$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} $=\integral_{-\infty}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}+\integral_{0}^{\infty}{e^{-2\cdot{}x} \ \mathrm{dx}} [/mm]
>
> wenn ich nun [mm]\integral_{-\infty}^{0}{e^{-2x} \ \mathrm{dx}}[/mm]
> integriere, bekomme ich [ [mm]-\bruch{1}{2}e^{-2x}][/mm] raus.
>
> wenn ich nun [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}[/mm]
> integriere,
> bekomme ich [ [mm]\bruch{1}{2}e^{2x}][/mm] raus.
>
> jetzt hätte ich ein Problem, wie setze ich die Grenzen
> ein, weil da steht ja unendlich?
Wie ist denn ein uneigentliches Integral definiert ???
FRED
>
> LG
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 So 14.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
Hallo,
ich habe das gefunden:
Falls das Integrationsintervall unendlich ist, berechnet man das
Integral durch zusätzlichen Grenzübergang
$ [mm] \integral_{a}^{\infty} [/mm] f(x) [mm] \, [/mm] dx $ = $ [mm] \limes_{\lambda \to \infty}\integral_{a}^{\lambda}f(x) [/mm] dx $
wenn ich das bei,
$ [mm] =\integral_{-\infty}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] $ anwenden würde hätte ich ja,
[mm] \limes_{\lambda \to -\infty} [/mm] $ [mm] =\integral_{\lambda}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{\lambda \to -\infty} [/mm] $ $ [mm] [\bruch{1}{2}e^{2x}] [/mm] $
obere Grenze eingesetzt, wäre $ 0,5 $ nun würde ich nicht weiter wissen, setze ich die untere grenze ein geht es gegen +unendlich :S
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 So 14.12.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> ich habe das gefunden:
>
> Falls das Integrationsintervall unendlich ist, berechnet
> man das
> Integral durch zusätzlichen Grenzübergang
>
> [mm]\integral_{a}^{\infty} f(x) \, dx[/mm] = [mm]\limes_{\lambda \to \infty}\integral_{a}^{\lambda}f(x) dx[/mm]
>
> wenn ich das bei,
>
> [mm]=\integral_{-\infty}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}[/mm] anwenden
> würde hätte ich ja,
>
> [mm]\limes_{\lambda \to -\infty}[/mm]
> [mm]=\integral_{\lambda}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}}[/mm] =
> [mm]\limes_{\lambda \to -\infty}[/mm] [mm][\bruch{1}{2}e^{2x}][/mm]
>
> obere Grenze eingesetzt, wäre [mm]0,5[/mm]
Soweit alles richtig.
> nun würde ich nicht
> weiter wissen, setze ich die untere grenze ein geht es
> gegen +unendlich :S
Nein, da hast Du Dich vertan; der Grenzwert lautet anders.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 14.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
Hallo,
$ [mm] \integral_{\lambda}^{0}{e^{2x} \ \mathrm{dx}} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{\lambda \to -\infty} [/mm] $ $ [mm] [\bruch{1}{2}e^{2x}] [/mm] $
obere Grenze wäre $ 0,5 $ und die untere laut Wolfram 0 das heißt:
$ 0,5-0=0,5 $
und wenn ich es nun mit dem zweiten mache hätte ich:
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-2\cdot{}x} \ \mathrm{dx}} [/mm] $ = [mm] \limes_{\lambda \to \infty} [/mm] $ [mm] [-\bruch{1}{2}e^{-2x}] [/mm] $
obere Grenze gegen 0 untere grenze gegen $ [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $
und dann beide Integrale miteinander addieren ergibt 1, da ein Grenzwert existiert konvergiert dieses uneigentliche Integral stimmt das?
als ich den Grenzwert gegen + bzw - unendlich laufen lassen habe kam bei mir immer was anderes raus. Laut Wolfram ist es zwar 0, aber ich kam nicht darauf. Könnte mir einer bitte sagen, wieso es so ist?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 So 14.12.2014 | | Autor: | hippias |
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> als ich den Grenzwert gegen + bzw - unendlich laufen lassen
> habe kam bei mir immer was anderes raus. Laut Wolfram ist
> es zwar 0, aber ich kam nicht darauf. Könnte mir einer
> bitte sagen, wieso es so ist?
Du hast Dich verrechnet.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 So 14.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
ja okay, aber ist denn das andere richtig mit 1 und deswegen konvergiert es?
oder hast du dich darauf bezogen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 So 14.12.2014 | | Autor: | hippias |
Der Wert des uneigentlichen Integrals ist $1$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 14.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Du brauchst kein Wolframalpha für solche Aufgaben:
[mm] $...=[e^{2x}]_{-\infty}^0$ $\,=\,$ $e^{2*0}-\limes_{\lambda \to -\infty}e^{2*\lambda}$ $\,=\,$ $1-e^{\lim_{\lambda \to \red{+}\infty}2*(-\lambda)}=1-(e^{\lim_{\lambda \to \infty}(-\lambda)})^2=1-0^2=1-0=1\,.$
[/mm]
Beachte:
$0 < [mm] e^{-r}=1/e^r \to [/mm] 0$ bei $r [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:18 Fr 12.12.2014 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} [/mm] \ $
ist konvergent
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} [/mm] und [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} [/mm]
sind konvergent
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Fr 12.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}} \[/mm]
>
> ist konvergent
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}}[/mm] und
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-2\cdot{}|x|} \ \mathrm{dx}}[/mm]
> sind konvergent
[mm] $\iff$ $\int_0^\infty e^{-2x}dx$ [/mm] ist konvergent [mm] ($\IR \ni [/mm] x [mm] \longmapsto e^{-2|x|}$ [/mm] ist eine gerade Funktion).
P.S. Deine Ergänzung ist aber wichtig, denn sie stellt vielleicht klar, dass das,
was ich in der anderen Mitteilung gesagt habe, nicht im Sinne des Cauchyschen
Hauptwerts ("symmetrische Version") gemeint war!
Gruß,
Marcel
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