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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x)/x dx}
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{|sinx|/x dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^\alpha sinx dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x^2) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^x exp(-x^2) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^\alpha cos(1/t) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{lnt/\wurzel{t}dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{(lnx)^4dx}
[/mm]
existieren die integrale und wenn ja für welche [mm] \alpha \in \IR? [/mm] |
Hallo,
wie ihr ja bereits oben seht muss ich ne ganze menge uneigentlicher integrale ausrechnen oder abschätzen ganz wie ihr wollt. ein paar hab ich auch schon selber hinbekommen nur vor den restlichen neun sitze ich nun schon ne ganze weile und komme einfach nich auf die zündende idee bzw. auf einen grünen zweig. was ich weiß ist das man auf jeden fall die integrale jetzt zum beispiel von null bis unendlich getrennt betrachten muss und sie dann halt von null (lim b gegen 0) bis zb zu einem c laufen lässt. leider hab ich aber keine ahnung wie ich jetzt zum beispiel eine funktion abschätzen kann? kann mir da zufällig jemand einen tipp geben, wäre für jede anregung dankbar :) danke schon mal im vorhinein.
gruß fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 18.05.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{sin(x)/x dx}[/mm]
Hallo,
hier wechseln sich von Nullstelle zu Nullstelle positiv und negativ zu zählende Flächenstücke ab, die ständig kleiner werden. Denk mal ans Leibnizkriterium.
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{|sinx|/x dx}[/mm]
Du kennst die Fläche unter der Sinusfunktion von Nullstelle zu Nullstelle?
Durch den Faktor 1/x werden diese Flächen zwar ständig kleiner, die Summe divergiert aber trotzdem (eine Abschätzung gegen die harmonische Reihe ist möglich.
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^\alpha sinx dx}[/mm]
Ich vermute Divergenz für [mm] \alpha\ge [/mm] 0 und Konvergenz für [mm] \alpha<0. [/mm] Das Klappt schon, wenn du erst mal die ersten beiden Aufgaben hast...
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{sin(x^2) dx}[/mm]
Hier kommen die Nullstellen immer dichter bei konstanter Amplitude (Leibnizkriterium).
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^x exp(-x^2) dx}[/mm]
>
[mm] x^x exp(-x^2)=\bruch{x^x}{(e^{x})^x}=(\bruch{x}{e^x})^x
[/mm]
Wenn die letzte Klammer <1 ist, sollte Konvergenz vorliegen.
Gruß Abakus
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{t^\alpha cos(1/t) dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{lnt/\wurzel{t}dx}[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{1}{(lnx)^4dx}[/mm]
> existieren die integrale und wenn ja für welche [mm]\alpha \in \IR?[/mm]
>
> Hallo,
> wie ihr ja bereits oben seht muss ich ne ganze menge
> uneigentlicher integrale ausrechnen oder abschätzen ganz
> wie ihr wollt. ein paar hab ich auch schon selber
> hinbekommen nur vor den restlichen neun sitze ich nun schon
> ne ganze weile und komme einfach nich auf die zündende idee
> bzw. auf einen grünen zweig. was ich weiß ist das man auf
> jeden fall die integrale jetzt zum beispiel von null bis
> unendlich getrennt betrachten muss und sie dann halt von
> null (lim b gegen 0) bis zb zu einem c laufen lässt. leider
> hab ich aber keine ahnung wie ich jetzt zum beispiel eine
> funktion abschätzen kann? kann mir da zufällig jemand einen
> tipp geben, wäre für jede anregung dankbar :) danke schon
> mal im vorhinein.
> gruß fawkes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{sin(x)/x dx}[/mm]
> Hallo,
> hier wechseln sich von Nullstelle zu Nullstelle positiv
> und negativ zu zählende Flächenstücke ab, die ständig
> kleiner werden. Denk mal ans Leibnizkriterium.
>
> >
> > [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{|sinx|/x dx}[/mm]
> Du kennst die
> Fläche unter der Sinusfunktion von Nullstelle zu
> Nullstelle?
> Durch den Faktor 1/x werden diese Flächen zwar ständig
> kleiner, die Summe divergiert aber trotzdem (eine
> Abschätzung gegen die harmonische Reihe ist möglich.
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^\alpha sinx dx}[/mm]
> Ich vermute
> Divergenz für [mm]\alpha\ge[/mm] 0 und Konvergenz für [mm]\alpha<0.[/mm] Das
> Klappt schon, wenn du erst mal die ersten beiden Aufgaben
> hast...
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{sin(x^2) dx}[/mm]
> Hier kommen die
> Nullstellen immer dichter bei konstanter Amplitude
> (Leibnizkriterium).
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^x exp(-x^2) dx}[/mm]
> >
>
> [mm]x^x exp(-x^2)=\bruch{x^x}{(e^{x})^x}=(\bruch{x}{e^x})^x[/mm]
>
?????
[mm] e^{x^2} \not= (e^x)^x [/mm] !!!!
FRED
> Wenn die letzte Klammer <1 ist, sollte Konvergenz
> vorliegen.
> Gruß Abakus
>
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{t^\alpha cos(1/t) dx}[/mm]
> >
> > [mm]\integral_{0}^{1}{lnt/\wurzel{t}dx}[/mm]
> > [mm]\integral_{0}^{1}{(lnx)^4dx}[/mm]
> > existieren die integrale und wenn ja für welche [mm]\alpha \in \IR?[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> > wie ihr ja bereits oben seht muss ich ne ganze menge
> > uneigentlicher integrale ausrechnen oder abschätzen ganz
> > wie ihr wollt. ein paar hab ich auch schon selber
> > hinbekommen nur vor den restlichen neun sitze ich nun schon
> > ne ganze weile und komme einfach nich auf die zündende idee
> > bzw. auf einen grünen zweig. was ich weiß ist das man auf
> > jeden fall die integrale jetzt zum beispiel von null bis
> > unendlich getrennt betrachten muss und sie dann halt von
> > null (lim b gegen 0) bis zb zu einem c laufen lässt. leider
> > hab ich aber keine ahnung wie ich jetzt zum beispiel eine
> > funktion abschätzen kann? kann mir da zufällig jemand einen
> > tipp geben, wäre für jede anregung dankbar :) danke schon
> > mal im vorhinein.
> > gruß fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x)/x dx} [/mm] $:
Für 0<u<v: Zeige
| $ [mm] \integral_{u}^{v}{sin(x)/x dx}| \le \bruch{2}{u}$
[/mm]
Jetzt Cauchykriterium
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
also wenn ich ganz ehrlich bin hab ich die anmerkungen ja alle soweit verstanden und auch da die sache mit dem [mm] exp(x^2) [/mm] das das natürlich nich [mm] (expx)^x [/mm] ist nur wie du jetzt zb beispiel auf die 2/u gekommen bist und wie ich daran jetzt feststellen kann, das die funktion ex/nicht ex. das leibnitzkriterium und auch das chauchy hab ich mir jedenfalls alles durchgelesen nur verstehen tu ich es dadurch trotzdem irgendwie noch nich. kann mir das zufällig jemand noch nen bissel ausführlicher erklären, muss ja nich zu allen sein freu mich selbst wenn es nur zu einem halben intergral reicht :) achja danke auch an die beiden leute die schon geantwortet haben auch wenn ich leider noch nich so richtig begriffen hab :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:27 Di 19.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x)/x dx} [/mm] $
Sei 0<u<v. Mit partieller Integration:
[mm] $|\integral_{u}^{v}{\bruch{1}{x}sin(x) dx}| [/mm] = [mm] |\bruch{cos(v)}{v}-\bruch{cos(u)}{u}-\integral_{u}^{v}{\bruch{cos(x)}{x^2} dx}| \le \bruch{1}{v}+\bruch{1}{u}+\integral_{u}^{v}{1/x^2 dx} [/mm] = 2/u$
FRED
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