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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale, sofern Sie existieren:
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{1}{1+e^x} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{1}{(ln(x))^2 dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{1}^{e}{\frac{1}{x\sqrt{ln(x)}} dx} [/mm] |
Hi,
zu a):
sei [mm] a\in ]0,\infty[ [/mm]
[mm] \integral_{0}^{a}{\frac{1}{1+e^x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{a}{1-\frac{e^x}{1+e^x} dx} [/mm] , Subst.: [mm] u:=e^x [/mm] => [mm] dx=\frac{du}{u}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{a}{1 dx} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{e^a}{\frac{u}{1+u} \frac{1}{u}du}
[/mm]
=a- [mm] (ln(1+u)|^{e^a}_1 [/mm] = [mm] a-ln(1+e^a) [/mm] + ln(2)
[mm] wegen\limes_{a\rightarrow\infty}a-ln(1+e^a) [/mm] + ln(2) = [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] + ln(2)
Löschen sich die [mm] \infty [/mm] sich gegenseitig aus?
Habe ich irgendwo ein Fehler?
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Di 29.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale,
> sofern Sie existieren:
> a) [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{1}{1+e^x} dx}[/mm]
> b)
> [mm]\integral_{0}^{1}{(ln(x))^2 dx}[/mm]
> c)
> [mm]\integral_{1}^{e}{\frac{1}{x\sqrt{ln(x)}} dx}[/mm]
> Hi,
>
> zu a):
> sei [mm]a\in ]0,\infty[[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{a}{\frac{1}{1+e^x} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{a}{1-\frac{e^x}{1+e^x} dx}[/mm] , Subst.: [mm]u:=e^x[/mm]
> => [mm]dx=\frac{du}{u}[/mm]
> [mm]=\integral_{0}^{a}{1 dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{1}^{e^a}{\frac{u}{1+u} \frac{1}{u}du}[/mm]
> =a-
> [mm](ln(1+u)|^{e^a}_1[/mm] = [mm]a-ln(1+e^a)[/mm] + ln(2)
> [mm]wegen\limes_{a\rightarrow\infty}a-ln(1+e^a)[/mm] + ln(2) =
> [mm]\infty[/mm] - [mm]\infty[/mm] + ln(2)
> Löschen sich die [mm]\infty[/mm] sich gegenseitig aus?
Ja. Tipp: schreibe [mm] $a=\ln e^a$: [/mm]
[mm]a-\ln(1+e^a) = \ln e^a - \ln(1+e^a) = \ln \bruch{e^a}{1+e^a} = \ln \bruch{1}{e^{-a}+1} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hi,
[mm] \integral_{0}^{1}{ln^2(x) dx} [/mm] , sei [mm] a\in[0,1]
[/mm]
=> [mm] \integral_{a}^{1}{ln^2(x) dx} [/mm] subst.: u:=ln(x) => [mm] dx=e^u [/mm] du
[mm] =\integral_{ln(a)}^{0}{u^2e^u du} [/mm]
[mm] =u^2e^u [/mm] - [mm] \integral_{ln(a)}^{0}{2ue^u du}
[/mm]
[mm] =u^2e^u [/mm] - [mm] 2ue^u [/mm] + [mm] \integral_{ln(a)}^{0}{2e^u du}
[/mm]
[mm] =u^2e^u|^0_{ln(a)} [/mm] - [mm] 2ue^u|^0_{ln(a)} +2e^u|^0_{ln(a)}
[/mm]
=0 - [mm] ln^2(a)a [/mm] + 2ln(a)a + 2 - 2a
=a(2ln(a) - [mm] ln^2(a) [/mm] + [mm] \frac{2}{a} [/mm] -2)
ich habe mal im internet integriert und da kommt [mm] a(ln^2(a)-2ln(a)+2), [/mm] kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?
Snafu
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Hallo Snafu,
integriert hast du das Teil richtig.
Es hängt etwas an der unteren Grenze. Die obere ist mit $x=1$ richtig [mm] $u=\ln(x)=\ln(1)=0$
[/mm]
Die untere wird bei der Substitution "uneigentlich".
Nimm dir als untere Grenze ein festes $M<0$ her und lasse nach dem Einsetzen der Grenzen $M$ und $0$ dann [mm] $M\to-\infty$ [/mm] gehen.
Alternativ rechne das Ganze ohne Grenzen, resubstituiere und rechne alles in x aus ...
Beachte, dass auch hier die untere Grenze $x=0$ "uneigentlich" ist.
Gib dir also wieder eine feste untere Grenze [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vor und lasse am Ende [mm] $\varepsilon\to [/mm] 0$ gehen ...
Gruß
schachuzipus
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Hi,
ich verstehe nicht ganz wieso M<0 , wo ich doch im Intervall [0,1] integriere? Eigentlich müsste es doch so auch gehen,wie ich es gemacht habe, und anschließend a->0 laufen lasse? Mein Problem war, das mein Integral nicht dem entsprach, was ich mit einem Programm rausbekommen habe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Do 01.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> ich verstehe nicht ganz wieso M<0 , wo ich doch im
> Intervall [0,1] integriere? Eigentlich müsste es doch so
Hallo,
im Interval (0,1) sind die "ln"s alle negativ.
Gruß Abakus
> auch gehen,wie ich es gemacht habe, und anschließend a->0
> laufen lasse? Mein Problem war, das mein Integral nicht dem
> entsprach, was ich mit einem Programm rausbekommen habe.
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Hallo nochmal,
> Hi,
>
> ich verstehe nicht ganz wieso M<0 , wo ich doch im
> Intervall [0,1] integriere?
Mit der Substitution hast du doch das "neue" Integral in den Grenzen [mm] $-\infty$ [/mm] bis $0$
Daher nimmm dir ne feste untere Grenze $M<0$ her und lasse am Ende [mm] $M\to-\infty$ [/mm] gehen.
> Eigentlich müsste es doch so
> auch gehen,wie ich es gemacht habe, und anschließend a->0
> laufen lasse? Mein Problem war, das mein Integral nicht dem
> entsprach, was ich mit einem Programm rausbekommen habe.
Gruß
schachuzipus
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Hi,
ok, aber ist das nicht das selben als wenn ich schreibe:
[mm] \integral_{0}^{1}{ln^2(x) dx} [/mm] sei [mm] a\in[0,1] [/mm]
=> [mm] \integral_{a}^{1}{ln^2(x) dx} [/mm] subst.: u:=ln(x) => [mm] dx=e^u [/mm] du
[mm] =\integral_{ln(a)}^{0}{u^2e^u du} [/mm] = [mm] u^2e^u|^0_{ln(a)} [/mm] - [mm] 2ue^u|^0_{ln(a)} +2e^u|^0_{ln(a)} [/mm] =0 - [mm] ln^2(a)a [/mm] + 2ln(a)a + 2 - 2a
[mm] \limes_{a\rightarrow 0}(- ln^2(a)a [/mm] + 2ln(a)a + 2 - 2a)
hier wende ich den l'Hospital an:
[mm] \limes_{a\rightarrow 0}(- ln^2(a)a [/mm] + 2ln(a)a + 2 - 2a) =
[mm] \limes_{a\rightarrow 0}(- \frac{ln^2(a)}{\frac{1}{a}} [/mm] + [mm] \frac{ln(a)}{\frac{1}{a}}2 [/mm] + 2 - 2a)
[mm] =\limes_{a\rightarrow 0}-\frac{2ln(a)\frac{1}{a}}{-\frac{1}{a}} [/mm] -2a +2-2a
[mm] =\limes_{a\rightarrow 0} [/mm] -2a-2a+2-2a = 2
Snafu
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Hallo SnafuBernd,
> Hi,
>
> ok, aber ist das nicht das selben als wenn ich schreibe:
> [mm]\integral_{0}^{1}{ln^2(x) dx}[/mm] sei [mm]a\in[0,1][/mm]
> => [mm]\integral_{a}^{1}{ln^2(x) dx}[/mm] subst.: u:=ln(x) =>
> [mm]dx=e^u[/mm] du
> [mm]=\integral_{ln(a)}^{0}{u^2e^u du}[/mm] = [mm]u^2e^u|^0_{ln(a)}[/mm] -
> [mm]2ue^u|^0_{ln(a)} +2e^u|^0_{ln(a)}[/mm] =0 - [mm]ln^2(a)a[/mm] + 2ln(a)a +
> 2 - 2a
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0}(- ln^2(a)a[/mm] + 2ln(a)a + 2 - 2a)
>
> hier wende ich den l'Hospital an:
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0}(- ln^2(a)a[/mm] + 2ln(a)a + 2 - 2a) =
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0}(- \frac{ln^2(a)}{\frac{1}{a}}[/mm] +
Den Nenner [mm]\bruch{1}{a}=a^{-1}[/mm] muß Du auch ableiten.
> [mm]\frac{ln(a)}{\frac{1}{a}}2[/mm] + 2 - 2a)
> [mm]=\limes_{a\rightarrow 0}-\frac{2ln(a)\frac{1}{a}}{-\frac{1}{a}}[/mm]
> -2a +2-2a
> [mm]=\limes_{a\rightarrow 0}[/mm] -2a-2a+2-2a = 2
>
> Snafu
Gruss
MathePower
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Hi,
ja hab vergessen die Quadrate in denn Nenner zu schreiben, aber gerechnet habe ich mit [mm] \frac{1}{a} [/mm] => [mm] -\frac{1}{a^2}. [/mm] D.h. das Ergebnis müsste stimmen,oder?
Snafu
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Hallo SnafuBernd,
> Hi,
>
> ja hab vergessen die Quadrate in denn Nenner zu schreiben,
> aber gerechnet habe ich mit [mm]\frac{1}{a}[/mm] => [mm]-\frac{1}{a^2}.[/mm]
> D.h. das Ergebnis müsste stimmen,oder?
Das Ergebnis stimmt zwar, aber zuvor mußt Du nochmal L'Hospital anwenden.
>
> Snafu
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Sa 03.07.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
ja stimmt hab da was übersprungen. Danke!
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