uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Sa 05.02.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Existieren die folgenden uneigentlichen Integrale? Bestimme gegebenfalls deren Wert.
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{lnx}{x^2}dx} [/mm] |
Hi Leute, brächte mal ein wenig Hilfe bei der Aufgabe^^ also ich würd sagen das schreibt man erstmal [mm] so:\limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{1}^{a}{\bruch{lnx}{x^2}dx} [/mm] Soweit so gut. Ich muss das ja jetzt integrieren, also hab ich Substitution gemacht mit [mm] t=x^2, [/mm] t'=2x und [mm] xdx=\bruch{1}{2}dt [/mm] aber irgendwie scheint das falsch zu sein:(
Wäre für einen Denkanstoß echt dankbar^^
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo David!
Substituiere hier zunächst: $u \ := \ [mm] \ln(x) [/mm] \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ = \ [mm] e^u$ [/mm] .
Anschließend geht es dann mit partieller Integration weiter.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Sa 05.02.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo David,
alternativ kannst Du auch direkt partiell integrieren, ohne vorher zu substituieren (falls Dir das lieber ist).
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Sa 05.02.2011 | | Autor: | David90 |
Achso ihr meint das einfach umschreiben in [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{1}^{a}{x^{-2}*lnx dx}. [/mm] Nagut dann hab ich das so gemacht und partiell integriert. Ich hab v=lnx, [mm] v'=\bruch{1}{x} [/mm] und [mm] u'=x^{-2}, u=-\bruch{1}{3}*x^{-3} [/mm] gewählt. Dann steht da [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{1}^{a}{x^{-2}*lnx dx}= -\bruch{1}{3}*x^{-3}*lnx [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}\integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x^4} dx}. [/mm] Das letzte nochmal integriert ist dann [mm] -\bruch{1}{3}*x^{-3}*lnx-\bruch{1}{15}*x^{-5}. [/mm] Ist das soweit richtig?:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 05.02.2011 | | Autor: | David90 |
Aber ich kann doch von lnx keine Stammfunktion bilden...also muss ich v und u' so wählen:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo David!
Das hat auch niemand behauptet. Du hast aber zweimal anstelle der Stammfunktion jeweils die Ableitung hingeschrieben.
Schreibe es Dir mal sauber auf.
Gruß
Loddar
PS: auch zu [mm] $\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] 1*\ln(x)$ [/mm] lässt sich mittels partieller Integration eine Stammfunktion finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 05.02.2011 | | Autor: | David90 |
Achso verstehe^^ ich hab falsch integriert^^ also nochmal ich wähle bei [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{1}^{a}{x^{-2}*lnx dx} [/mm] v=lnx, [mm] v'=\bruch{1}{x} [/mm] und [mm] u'=x^{-2}, u=-x^{-1} [/mm] dann komm ich auf [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}-x^{-1}*lnx-\integral_{1}^{a}{-x^{-1}*x^{-1} dx} [/mm] und das sind dann [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}-x^{-1}*lnx-x^{-1} [/mm] oder? und wenn ich dann die Grenzen einsetze komm ich auf [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}-\bruch{2}{a}*lna [/mm] und der Wert ist dann 0 weil [mm] -\bruch{2}{a} [/mm] gegen 0 strebt richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Sa 05.02.2011 | | Autor: | notinX |
> Achso verstehe^^ ich hab falsch integriert^^ also nochmal
> ich wähle bei
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{1}^{a}{x^{-2}*lnx dx}[/mm]
> v=lnx, [mm]v'=\bruch{1}{x}[/mm] und [mm]u'=x^{-2}, u=-x^{-1}[/mm] dann komm
> ich auf
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}-x^{-1}*lnx-\integral_{1}^{a}{-x^{-1}*x^{-1} dx}[/mm]
ich würde erstmal nur das Integral berechnen und später den Grenzwert bestimmen. Wenn Du den Grenzwert aber unbedingt mitschleppen willst, musst Du eine Klammer machen; und die Integrationsgrenzen des ersten Terms hast Du auch vergessen:
[mm] $\lim_{a\to\infty}\left(\left[-\frac{\ln x}{x}\right]_{1}^{a}+\int_{1}^{a}\frac{1}{x^{2}}\,\mathrm{d}x\right)$
[/mm]
> und das sind dann
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}-x^{-1}*lnx-x^{-1}[/mm] oder? und
Die Stammfunktion stimmt.
> wenn ich dann die Grenzen einsetze komm ich auf
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}-\bruch{2}{a}*lna[/mm] und der
Das stimmt nicht. Setz nochmal in Ruhe alle Integrationsgrenzen an der richtigen Stelle ein und achte auf die Vorzeichen.
Wert
> ist dann 0 weil [mm]-\bruch{2}{a}[/mm] gegen 0 strebt richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 05.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ok hast Recht habs jetzt nochmal eingesetzt und komm auf [mm] -\bruch{1}{a}*lna+1 [/mm] und das strebt gegen 1. Jetzt Korrekt?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok hast Recht habs jetzt nochmal eingesetzt und komm auf
> [mm]-\bruch{1}{a}*lna+1[/mm] und das strebt gegen 1. Jetzt Korrekt?
Leider nicht.
Korrekt muss das lauten:
[mm]-\bruch{1}{a}* \ln\left(a\right) \red{-\bruch{1}{a}}+1[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Sa 05.02.2011 | | Autor: | David90 |
Man verdammt wieso hab ich das übersehn -.- kann man dann noch hinschreiben =1 weil das andere gegen 0 strebt?
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Hallo David90,
> Man verdammt wieso hab ich das übersehn -.- kann man dann
> noch hinschreiben =1 weil das andere gegen 0 strebt?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Sa 05.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ok alles klar danke:)
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