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uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Sa 17.05.2014
Autor: LinaWeber

Aufgabe
ich soll bestimmen, ob das uneigentliche Riemann Integral konvergent ist.
a) [mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{sin(x)}{x^{\alpha}} dx} [/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x^2) dx} [/mm]
[mm] c)\integral_{0}^{1}{\frac{1}{log(x)} dx} [/mm]







Hey
ich stehe hier leider ziemlich auf den Schlauch, da ich leider in den Vorlesungen nicht anwesend sein konnte ich ich im Internet leider nicht genug Informationen über die Konvergenz eines uneiegentlichen Integrals finde.
Also ich komme soweit:
a) [mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{sin(x)}{x^{\alpha}} dx}= \limes_{c \to \infty}\integral_{1}^{c}{\frac{sin(x)}{x^{\alpha}} dx} [/mm]
jetzt muss ich das Integral wahrscheinlich irgendwie abschätzen. Ich weiß nur leider nicht wie. oder macht es an dieser Stelle mehr Sinn patiell zu integrieren?
wenn ich patiell Integriere erhalte ich jedoch keine eindeutige Lösung..


b) ..


c) darf ich hier das Integral durch [mm] \frac{1}{ln(x)} \ge \frac{1}{x} [/mm] abschätzen ? denn der Integrand des letzteren in den angegebenen Grenzen ist ja divergent



        
Bezug
uneigentliches Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:43 Sa 17.05.2014
Autor: hippias


> Hey
>  ich stehe hier leider ziemlich auf den Schlauch, da ich
> leider in den Vorlesungen nicht anwesend sein konnte ich
> ich im Internet leider nicht genug Informationen über die
> Konvergenz eines uneiegentlichen Integrals finde.

In jedem Einfuehrungsbuch in die Analysis duerften ausreichend Kriterien zu diesem Problem behandelt werden. Hat Google dir das nicht verraten?

Bezug
                
Bezug
uneigentliches Integral: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Sa 17.05.2014
Autor: LinaWeber

Hey
leider ist es in diesem einem Buch was ich besitze meiner Meinung nach, zu kompliziert erklärt um es ohne weitere Hilfsmittel oder Anhaltspunkte zu verstehen

LG

Bezug
                        
Bezug
uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Sa 17.05.2014
Autor: M.Rex

Hallo

Welche Konvergenzkriterien kennst du denn bisher?

Da gibt es z.B.:
- das Majorantenkriterium
- das Wurzelkriterium
- das Qotientenkriterium

Von diesen solltest du schon etmal etwas gehört haben

Etwas seltener behandelt wird das Vergleichskriterium

Zum Nachweis der Divergenz kannst du evtl das Majorantenkriterium zum "Minorantenkriterium" umbauen, findest du eine Minorante, ist die Reihe divergent.

Marius

Bezug
        
Bezug
uneigentliches Integral: zzu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Sa 17.05.2014
Autor: M.Rex

Hallo

> ich soll bestimmen, ob das uneigentliche Riemann Integral
> konvergent ist.
> a) [mm]\integral_{1}^{\infty}{\frac{sin(x)}{x^{\alpha}} dx}[/mm]

>

Ist dir bekannt, dass [mm] \int\limits_{0}^{\infty} [/mm] konvergent ist?

Und für [mm] \alpha>1 [/mm] sowie x>1 ist [mm] x^{\alpha}>x [/mm]

Marius

Bezug
        
Bezug
uneigentliches Integral: zu b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Sa 17.05.2014
Autor: M.Rex

Hallo

>

> b) [mm]\integral_{0}^{\infty}{sin(x^2) dx}[/mm]

>

Hier würde ich mal versuchen, mit der Potenzreihenentwicklung des Sinus zu arbeiten, ob das zum Ziel führt, weiss ich aber gerade nicht.

Marius

Bezug
                
Bezug
uneigentliches Integral: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:42 Sa 17.05.2014
Autor: LinaWeber

Hey
du meinst also:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x^2) dx}=\integral_{0}^{\infty}{(-1)^{n}*\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{x}{1}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...+...} [/mm] ?
nur abschätzen macht an dieser Stelle nicht all zu viel Sinn, oder?


LG

Bezug
                        
Bezug
uneigentliches Integral: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 So 18.05.2014
Autor: LinaWeber

hallihallo
kann jemand bitte den Fälligkeitszeitpunkt verschieben?
Danke

Bezug
                                
Bezug
uneigentliches Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 So 18.05.2014
Autor: M.Rex


> hallihallo
> kann jemand bitte den Fälligkeitszeitpunkt verschieben?
> Danke

Ist erledigt.

Marius

Bezug
                        
Bezug
uneigentliches Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Mi 21.05.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
uneigentliches Integral: zu c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Sa 17.05.2014
Autor: M.Rex

>
> [mm]c)\integral_{0}^{1}{\frac{1}{log(x)} dx}[/mm]

>

> c) darf ich hier das Integral durch [mm]\frac{1}{ln(x)} \ge \frac{1}{x}[/mm]
> abschätzen ? denn der Integrand des letzteren in den
> angegebenen Grenzen ist ja divergent

Hier würde ich auch mal mit der Reihenentwicklung des LN argumentieren.
Außerdem könnte helfen, dass für [mm] x\approx1 [/mm] gilt
[mm] \frac{1}{\ln(x)}\approx\frac{1}{x-1} [/mm]

Marius


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