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| Aufgabe | Über einem geeigneten endlichen oder unendlichen Intervall der reellen Achse wird
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel[4]{x-2}} dx}
[/mm]
betrachtet. Für welche a und b handelt es sich dabei um
(i) ein bestimmtes Integral,
(ii) ein konvergentes uneigentliches Integral,
(iii) ein bestimmt divergentes uneigentliches Integral bzw.
(iiii) ein unbestimmt divergentes uneigentliches Integral ? |
Was ist
(iii) ein bestimmt divergentes uneigentliches Integral bzw.
(iiii) ein unbestimmt divergentes uneigentliches Integral ?
Ein divergentes uneigentliches Integral ergibt sich, wenn der Wert nicht endlich ist.
Aber die Eigenschaften "bestimmt" und "unbestimmt" sind mir hier nicht bekannt. Auch im Netz finde ich nichts dazu.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 So 09.01.2022 | | Autor: | chrisno |
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> Ein divergentes uneigentliches Integral ergibt sich, wenn
> der Wert nicht endlich ist.
> Aber die Eigenschaften "bestimmt" und "unbestimmt" sind
> mir hier nicht bekannt. Auch im Netz finde ich nichts
> dazu.
>
Das finde ich erstaunlich. Ich tippe "bestimmt divergent" bei der Suchmaschine ein und erhalte:
https://mathepedia.de/Bestimmte_Divergenz.html
[mm] https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Bestimmte_Divergenz,_uneigentliche_Konvergenz
[/mm]
und mehr. Aber auch unter "Konvergenz" in Wikipedia gibt es einen Abschnitt
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)
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> Über einem geeigneten endlichen oder unendlichen Intervall
> der reellen Achse wird
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel[4]{x-2}} dx}[/mm]
>
Die Wurzel ist nur für nicht-negative Werte, also für [mm] x\ge [/mm] 2, definiert. Für x=2 wird der Nenner 0.
> betrachtet. Für welche a und b handelt es sich dabei
> um
>
> (i) ein bestimmtes Integral,
Alle Werte aus a,b [mm] \in ]2|\infty[ [/mm] geben einen festen, endlichen Wert, also ein bestimmtes Integral.
>
> (ii) ein konvergentes uneigentliches Integral,
Hier muss zunächst die Integralfunktion bestimmt werden, um dann [mm] \limes_{a\rightarrow 2} [/mm] und [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] zu bilden. Diese heißt [mm] \bruch{4}{3}\wurzel[4]{(x-2)^3}, [/mm] und es ist [mm] \limes_{a\rightarrow 2} [/mm] = 0 für die untere und [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \infty [/mm] für die obere Grenze.
Das uneigentliche Integral existiert also für [mm] \integral_{2}^{b}{f(x) dx}, b\ge [/mm] 2, aber nicht für [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx}.
[/mm]
>
> (iii) ein bestimmt divergentes uneigentliches Integral
> bzw.
Das liegt für [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] vor, da dieses nach [mm] \infty [/mm] geht.
>
> (iiii) ein unbestimmt divergentes uneigentliches Integral
> ?
> Was ist
> (iii) ein bestimmt divergentes uneigentliches Integral
> bzw.
Hierzu ein Beispiel:
Für F(x) = [mm] e^x*(sin(x) [/mm] - cos(x)) ist f(x) = F'(x) = [mm] e^x*(sin(x) [/mm] - cos(x)) + [mm] e^x*( [/mm] cos(x) + sin(x)) = [mm] 2*e^x*sin(x) [/mm] und damit
[mm] \integral_{0}^{b}{2*e^x*sin(x) dx} [/mm] = [mm] e^x*(sin(x) [/mm] - [mm] cos(x))|^b_0 [/mm] = [mm] e^b*(sin(b) [/mm] - cos(b)) - 1*(0-1).
Lässt man nun b nach [mm] \infty [/mm] gehen, geht auch [mm] e^b [/mm] nach [mm] \infty.
[/mm]
Für die Klammer (sin(b) - cos(b)) gilt aber: Ist b = [mm] 2\pi, 4\pi, 6\pi, [/mm] ..., so ist sin(b) = 0 und cos(b) = 1, die Klammer also -1. Ist Ist b = [mm] \pi, 3\pi, 5\pi, [/mm] ..., so ist sin(b) = 0 und cos(b) = - 1, die Klammer also 1.
Das heißt, der Wert des Integrals geht betragsmäßig nach [mm] \infty, [/mm] wird aber immer wieder positiv und negativ, ist somit unbestimmt divergent.
Auch das [mm] \integral_{0}^{b}{cos(x) dx} [/mm] = [mm] sin(x)|^b_0 [/mm] = sin(b) ist unbestimmt divergent, da sein Wert immer zwischen 1 und -1 schwankt und daher [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [/mm] nicht existiert und auch nicht [mm] +\infty [/mm] oder - [mm] \infty [/mm] ist.
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> (iiii) ein unbestimmt divergentes uneigentliches Integral
> ?
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> Ein divergentes uneigentliches Integral ergibt sich, wenn
> der Wert nicht endlich ist.
> Aber die Eigenschaften "bestimmt" und "unbestimmt" sind
> mir hier nicht bekannt. Auch im Netz finde ich nichts
> dazu.
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