uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Sa 21.07.2007 | | Autor: | vivo |
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{dx}{x^3+x}}
[/mm]
also das wäre ja [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{dx}{x(x^2+1)}}
[/mm]
und integral [mm] \bruch{1}{x} [/mm] wäre lnx und integral von [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] wäre arctan(x) aber da es ja [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}*\bruch{1}{x^2+1}} [/mm] heißt weiß ich nicht wie ich integrieren muss
vielen dank für eure hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo vivo!
Führe hier vor der Integration eine  Partialbruchzerlegung durch:
[mm] $\bruch{1}{x*\left(x^2+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B*x+C}{x^2+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Sa 21.07.2007 | | Autor: | vivo |
ok danke ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Sa 21.07.2007 | | Autor: | vivo |
also nach der Partialbruchzerlegung:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}+\bruch{-x}{x^2+1}}
[/mm]
[lnx + (-x)arctan(x)] ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo vivo!
Du kannst hier beim 2. Teilintegral nicht einfach $x \ [mm] \text{mal Bruch}$ [/mm] integrieren.
Der Ausdruck [mm] $\bruch{x}{x^2+1}$ [/mm] hat doch nahezu die Form [mm] $\bruch{f'(x)}{f(x)}$ [/mm] . Und wie werden diese integriert?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 21.07.2007 | | Autor: | vivo |
Der Ausdruck [mm]\bruch{x}{x^2+1}[/mm] hat doch nahezu die Form
[mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] . Und wie werden diese integriert?
durch substitution?
[mm]\bruch{2x}{x^2+1}[/mm] [mm] u=x^2+1 [/mm] du=2xdx
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{u}*du}
[/mm]
[ln|u|] resubsti -> [mm] ln|x^2+1| [/mm] ?????????
somit hätte ich dann insgesamt [mm] [ln(x)+0,5ln(x^2+1)] [/mm]
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> Der Ausdruck [mm]\bruch{x}{x^2+1}[/mm] hat doch nahezu die Form
> [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] . Und wie werden diese integriert?
>
> durch substitution?
Hallo,
durch Substitution oder - schneller - indem man's einfach weiß...
> [mm]\bruch{2x}{x^2+1}[/mm] [mm]u=x^2+1[/mm] du=2xdx
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{u}*du}[/mm]
>
> [ln|u|] resubsti -> [mm]ln|x^2+1|[/mm] ?????????
So richtig schlau werde ich aus dem, was ich hier lese, nicht, aber Indizien deuten daraufhin, daß Du das Richtige meinst:
[mm] \integral \bruch{x}{x^2+1}dx
[/mm]
[Substitution [mm] u=x^2+1 x=\wurzel{u-1} [/mm] dx= [mm] \bruch{1}{2\wurzel{u-1}}du]
[/mm]
[mm] ...=\integral \bruch{\wurzel{u-1}}{u}*\bruch{1}{2\wurzel{u-1}}du=\bruch{1}{2}\integral \bruch{1}{u}du=\bruch{1}{2}ln|u|, [/mm]
und dann rücksubstituieren wie v. Dir beschrieben. Testen kannst Du's ja mit der Ableitung.
Die Methode der "Wissenden":
[mm] \integral \bruch{x}{x^2+1}dx =\bruch{1}{2}\integral \bruch{2x}{x^2+1}dx,
[/mm]
man sieht "Ableitung : Funktion" ,und man weiß "ln|Funktion|".
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo vivo!
Ein kleiner Vorzeichenfehler hat sich noch eingeschlichen. Denn schließlich hatten wir ja auch:
[mm] $\integral{\bruch{1}{x} \ \red{-} \ \bruch{x}{x^2+1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln(x) [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left(x^2+1\right)+C$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Sa 21.07.2007 | | Autor: | vivo |
> Hallo vivo!
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> Ein kleiner Vorzeichenfehler hat sich noch eingeschlichen.
> Denn schließlich hatten wir ja auch:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x} \ \red{-} \ \bruch{x}{x^2+1} \ dx} \ = \ \ln(x) \ \red{-} \ \bruch{1}{2}*\ln\left(x^2+1\right)+C[/mm]
>
>
> Gruß
> Loddar
>
so wenn ich jetzt 1 einsetze kommt ja 0 - 0,5ln(2) raus
[mm] \ln(x) \red{-} \bruch{1}{2}*\ln\left(x^2+1\right) [/mm] = [mm] \ln\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}} [/mm] = [mm] \ln\bruch{x}{x\wurzel{1+1/x^2}} [/mm] = [mm] \ln\bruch{1}{\wurzel{1+1/x^2}} [/mm] hier [mm] \infty [/mm] eingesetzt gib 1 und ln1=0
also insgesamt 0- (0-0,5ln(2)) = 0,5ln(2)
richtig so????
vielen dank für die hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo vivo!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !! Sehr gut gemacht mit der Umformung für den Logarithmus ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo vivo!
Als Endergebnis erhalte ich dann für das uneigentliche Integral [mm] $\integral_1^{\infty} [/mm] \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln(2)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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