uneigentliches Integral f(x)=x < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 So 02.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | (i) Geben Sie eine stetige Funktion: [mm] \IR \to \IR [/mm] an, so dass der Grenzwert
[mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\integral_{-R}^{R}{f(x) dx} [/mm] existiert,
dasuneigentliche Integral [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] aber nicht.
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Hallo,
ich habe es mit f(x):= x versucht :
Der Cauchyhauptwert ist gleich 0
beim [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] gilt:
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx}=...= [/mm]
= - [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} \bruch{R^{2}}{2} [/mm] + [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} \bruch{R^{2}}{2}= [/mm] - [mm] \infty [/mm] + [mm] \infty [/mm]
Existiert wirklich kein Wert für das Integral ?
Intuitiv , es scheint für mich so, dass die Fläche von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] unter dem Graphen der Funktion f(x)=x gleich 0 ist.
Gruss
Igor
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Hallo,
> (i) Geben Sie eine stetige Funktion: [mm]\IR \to \IR[/mm] an, so
> dass der Grenzwert
> [mm]\limes_{R\rightarrow\infty}\integral_{-R}^{R}{f(x) dx}[/mm]
> existiert,
> dasuneigentliche Integral [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
> aber nicht.
>
> Hallo,
>
> ich habe es mit f(x):= x versucht :
Richtig.
>
> Der Cauchyhauptwert ist gleich 0
>
> beim [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] gilt:
>
> [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx}=...=[/mm]
> = - [mm]\limes_{R\rightarrow\infty} \bruch{R^{2}}{2}[/mm] +
> [mm]\limes_{R\rightarrow\infty} \bruch{R^{2}}{2}=[/mm] - [mm]\infty[/mm] +
> [mm]\infty[/mm]
>
> Existiert wirklich kein Wert für das Integral ?
Es ist $\ [mm] \int_{-R}^{R}f(x)dx [/mm] = [mm] \int_{-R}^{a}f(x)dx+\int_{a}^{R}f(x)dx [/mm] = [mm] \left[F(x)\right]_{-R}^a [/mm] + [mm] \left[F(x)\right]_{a}^{R} [/mm] $
Also $\ [mm] \lim \int_{-R}^{R}f(x)dx [/mm] = [mm] \lim\left(\int_{-R}^{a}f(x)dx+\int_{a}^{R}f(x)dx\right) [/mm] = [mm] \lim\left(\left[F(x)\right]_{-R}^a + \left[F(x)\right]_{a}^{R}\right) [/mm] $
Hast du das so gemacht?
>
> Intuitiv , es scheint für mich so, dass die Fläche von
> [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] unter dem Graphen der Funktion f(x)=x
> gleich 0 ist.
>
>
> Gruss
> Igor
>
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 02.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
bei dir zweite Gleichung rechts : soll dort nicht ein plus Zeichen stehen?
Was du ausgerechnet hast , ist der Cauchyhauptwert, oder?
Den habe ich auch so ausgerechnet.
Wie ist es mit [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{x dx} [/mm] ?
Gruss
Igor
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Hallo,
> Hallo,
>
> bei dir zweite Gleichung rechts : soll dort nicht ein plus
> Zeichen stehen?
>
Doch, natürlich. Danke. Hab's korrigiert.
Hat's dir sonst geholfen?
> Gruss
> Igor
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 02.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe das letzte posting editiert. Schaue mal bitte das an.
Gruss
Igor
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Hallo,
den Fall $\ f(x) = x $ betrachten wir doch die ganze Zeit.
Es ist $\ F(x) = [mm] \frac{1}{2}x^2 [/mm] $
Also $\ [mm] \left[F(x)\right]_{-R}^a [/mm] + [mm] \left[F(x)\right]_{a}^{R} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}(-R)^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2}R^2 -\frac{1}{2}a^2 [/mm] = 0 $
Der Grenzwert hingegen $\ [mm] \lim \left(-\frac{1}{2}(-R)^2 + \frac{1}{2}R^2\right) [/mm] = - [mm] \infty [/mm] + [mm] \infty [/mm] $
Deshalb existiert das uneigtl Integral nicht. Das war schon ok, so wie du das gemacht hast.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 02.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
so wie du die letzte Gleichung betrachtest, ist das nur der Cauchyhauptwert (CH) und der existiert ( der ist gleich 0) . Limes wird nicht (bzgl [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{x dx}) [/mm] ) auf die Summe angewandt, sondern jeweils auf einen Teil der Summe.
Dann steht bei mir am Ende (nicht für CH , sondern für
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{x dx}) [/mm] ) :
lim - [mm] \bruch {R^{2}}{2} [/mm] + lim [mm] \bruch {R^{2}}{2} [/mm] = - [mm] \infty [/mm] + [mm] \infty [/mm]
Das Problem ist, dass es mir nicht klar ist , warum das Integral nicht existiert . Die Fläche unter f ist intuitiv gesehen gleich 0.
Gruss
Igor
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Hallo,
> so wie du die letzte Gleichung betrachtest, ist das nur der
> Cauchyhauptwert (CH) und der existiert ( der ist gleich 0)
> . Limes wird nicht auf die Summe angewandt, sondern jeweils
> auf einen Teil der Summe.
>
Was du nicht sagst.
$\ [mm] \lim (a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] ) := [mm] \lim a_n [/mm] + [mm] \lim b_n [/mm] = a + b $
Nichts anderes hab' ich geschrieben.
> Dann steht bei mir am Ende (nicht für CH , sondern für
> [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx})[/mm] :
> lim - [mm]\bruch {R^{2}}{2}[/mm] + lim [mm]\bruch {R^{2}}{2}[/mm] = -
> [mm]\infty[/mm] + [mm]\infty[/mm]
Erneut: nichts anderes hab' ich geschrieben.
>
>
> Das Problem ist, dass es mir nicht klar ist , warum das
> Integral nicht existiert . Die Fläche unter f ist intuitiv
> gesehen gleich 0.
Damit magst du recht haben, aber das uneigentliche Integral existiert nunmal nicht. Du betrachtest nicht $\ [mm] \int_{-R}^R [/mm] f(x)dx $ sondern $\ [mm] \int_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(x)dx$
Und $\ [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] $ ist nicht definiert.
>
> Gruss
> Igor
ChopSuey
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> Hallo,
>
> > so wie du die letzte Gleichung betrachtest, ist das nur der
> > Cauchyhauptwert (CH) und der existiert ( der ist gleich 0)
> > . Limes wird nicht auf die Summe angewandt, sondern jeweils
> > auf einen Teil der Summe.
> >
>
> Was du nicht sagst.
>
> [mm]\ \lim (a_n + b_n ) := \lim a_n + \lim b_n = a + b[/mm]
>
> Nichts anderes hab' ich geschrieben.
Hallo,
Igor hat hier völlig recht mit seiner Kritik:
Du mißchtest die Voraussetzungen:
[mm]\ \lim (a_n + b_n ) = \lim a_n + \lim b_n = a + b[/mm] gilt nur,
wenn die beiden Folgen gegen reelle Zahlen a und b konvergieren.
Dies ist hier ja nicht der Fall.
Es ist [mm] \lim (-\bruch{(-R)^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{R^2}{2})= \lim [/mm] 0 =0 (Cauchyhauptwert),
hingegen ist [mm] \lim (-\bruch{(-R)^2}{2} [/mm] )+ [mm] \lim \bruch{R^2}{2}) [/mm] (uneigentliches Integral) nicht definiert, weil man, wie im Thread erwähnt, [mm] -\infty+\infty [/mm] hat, was nicht definiert ist.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 09:03 Mo 03.05.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
das hab ich fast vermutet. Vielen Dank für den Hinweis!
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 02.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
bei der letzten Gleichung ist lim gleich 0 und nicht [mm] -\infty [/mm] + [mm] \infty [/mm] , oder?
Gruss
Igor
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Hallo,
nein. Ich hab' die Klammer nur ungünstig gesetzt. Die einzelnen Summanden divergieren. Also auch die Summe.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 02.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ok , nehmen wir an [mm] \infty -\infty [/mm] ist nicht definiert .
Ist das nur im Allgemeinen nicht definiert ?
Z.B im Intervall [0,1] sind unendlich viele Zahlen in [mm] \IR [/mm] sind auch unendlich viele Zahlen, jedoch die Anzahl der Zahlen in [0,1] kleiner als die Anzahl der Zahlen in [mm] \IR. [/mm]
Hier würde ich sagen,dass wenn man die Anzahl der Zahlen aus [0,1] von der Anzahl der Zahlen in [mm] \IR [/mm] abziehen würde, dann würde Differenz [mm] \infty [/mm]
(also keine endliche Zahl) sein.
Für f(x)= x gehen beide Grenzwerte gleich schnell gegen unendlich bzw. minus unendlich.
Kann man hier nicht sagen, dass beide unendlich gleich gross sind ?
Ich stelle mir die Identitätfunktion von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] vor : und im ersten Quadranten ist die Fläche unter f gleich der Fläche im dritten Quadranten.
Die heben sich gegenseitig aus.
Es ist schon komisch, dass wenn wir annehmen, dass [mm] \infty -\infty [/mm] nicht definiert ist, zu behaupten, dass die Fläche unter f(x) = x nicht existiert.
Das uneigentliche Integral mag unter der oberen Annahme nicht existieren.
Was sagt jedoch das über die tatsächliche Fläche aus? Oder hat das uneigentliche Integral in unserem Fall mit der tatsächlichen Fläche nichts zu tun?
Gruss
Igor
Gruss
Igor
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> Hallo,
>
> ok , nehmen wir an [mm]\infty -\infty[/mm] ist nicht definiert .
>
> Ist das nur im Allgemeinen nicht definiert ?
Hallo,
das ist nicht definiert.
>
> Z.B im Intervall [0,1] sind unendlich viele Zahlen in [mm]\IR[/mm]
> sind auch unendlich viele Zahlen, jedoch die Anzahl der
> Zahlen in [0,1] kleiner als die Anzahl der Zahlen in [mm]\IR.[/mm]
Die Vorlesung beweist Dir das Gegenteil. Halboffene, offene, geschlossene Intervalle sind gleichmächtig zu [mm] \IR.
[/mm]
> Es ist schon komisch, dass wenn wir annehmen, dass [mm]\infty -\infty[/mm]
> nicht definiert ist,
Wir nehmen das nicht an. Es ist so.
> zu behaupten, dass die Fläche unter
> f(x) = x nicht existiert.
Wir reden nicht über Flächen, sondern über Integrale.
> Das uneigentliche Integral mag unter der oberen Annahme
> nicht existieren.
Eben.
> Oder hat das uneigentliche Integral in unserem Fall mit der
> tatsächlichen Fläche nichts zu tun?
Genau.
Um Dich etwas zufriedener zu stimmen: der CH gibt Dir hier ja einen Hinweis darauf, daß die beiden Flächen wohl tatsächlich gleich sind.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo angela h.b.,
Vielen Dank für die Hinweise !
Gruß
Igor
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Beim Lesen dieser Diskussion ist mir aufgefallen, dass sch niemand um die Definition der Konvergenz eines uneigentlichen Integrals gekümmert hat:
$ [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] $ ist konvergent : [mm] \gdw [/mm] es gibt eine a [mm] \in \IR [/mm] mit: $ [mm] \integral_{- \infty}^{a}{f(x) dx} [/mm] $ und $ [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] $ sind beide konvergent.
Im Falle von f(x)=x sind beide Integrale divergent.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo fred97,
vielen Dank für den kurzen, jedoch sehr hilfreichen Hinweis !
Gruß
Igor
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